このカバー問題の複雑さはわかっていますか？

ましょうグラフです。頂点集合呼ばれ、重要な場合とには、頂点正確に1つの頂点に隣接していない。問題は、頂点集合見つけることであるように最小サイズのすべての重要な設定のための。 $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

この問題には、次のような噂拡散の解釈があります。頂点は、他のすべての近傍がすでに通知されている場合に限り、その近傍噂を拡散します。問題は、最終的に全員に通知されるように、最初にいくつの頂点を通知する必要があるかです。 $i$ $j$ $i$

— トーマス・カリノウスキー
ソース

これは非常に単純な解決策であるため、おそらく問題には指定されたよりも多くの条件があります。特殊なケース

を無視し、

が接続されている場合、次数

すべての頂点

はクリティカルセット

関連付けられているため、排他的にdeg 1の頂点の近傍のみが

できます。そのような頂点が存在する場合、

は星形グラフであり、その中心（シングルトンとして）は一意の最小値

です。

が接続されていない場合は、接続されている各コンポーネントを調べます。

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— Joe Bebel、2015

スターのために

と

葉、2葉のすべてのセットが重要であるため、最適解を取ることである

葉を。

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

— トーマス・カリノフスキー、2015

ああ、私は間違ってinterpetation見る

— ジョー・ベーベル

非常に興味深い質問、1つのマイナーな問題：おそらく、重要なセットが空でないことを要求する必要があります（そうでない場合、

はありません）。

S

$S$

— クラウス

@JoeBebel：決定問題「サイズが最大で

解集合

はありますか？」NPにあります。集合

が解かどうかは、次のアルゴリズムで確認できます。頂点がある一方で

を正確に隣にあり

外

、追加

する

。

に最終的にすべての頂点が含まれる場合、初期セットは解でした。そうでない場合、行き詰まり、最終セットの補集合は重要なセットであるため、初期

は解ではありませんでした。

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski、2015

この問題は、伝播の問題として知られています。Aazamiは彼であることが証明された博士論文グラフが平面であり、ノードの重みは、である場合でも、加重バージョンはNP完全であることを。重み付けされていないバージョンの複雑さは未解決の問題のようです。 $\{0,1\}$

— トーマス・カリノウスキー
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