推移性チェックと推移性クロージャ

有向グラフの推移性をチェックすることは、（漸近的な複雑さの観点から）有向グラフの推移的閉包を取るよりも簡単ですか？有向グラフが推移的であるかどうかを判断するために、よりも良い下限を知っていますか？$\Omega(n^2)$

私は次のことを紹介します下：あなたはOを持っている場合（）のグラフは、任意のための推移であるかどうかをチェックするための時間アルゴリズムε > 0（、あなたはOを持つN 3 - ε Aを検出するための）時間アルゴリズムを三角形n個のノードグラフ、ひいては（によってFOCS'10から用紙）は、O（必要があるだろう、N 3 - ε / 3を 2個のブールを乗算する時間アルゴリズム）N × Nの結果によって従って行列、及びフィッシャー70年代のマイヤー、これはO（n 3 $n^{3-\varepsilon}$$\varepsilon>0$$n^{3-\varepsilon}$$n$$n^{3-\varepsilon/3}$$n\times n$）推移閉包の時間アルゴリズム。$n^{3-\varepsilon/3}$

ノードGで三角形を検出するとします。次のグラフHを作成できます。Hは、それぞれn個のノード上にパーティションI 、J 、K を持つ3つの部分からなるものです。ここで、Gの各ノードxは、パーツI 、J 、Kにコピーx I、x J、x K を持っています。Gの各エッジ（u 、v ）に有向エッジ$n$$G$$H$$H$$I,J,K$$n$$x$$G$$x_I,x_J,x_K$$I,J,K$$(u,v)$$G$および（u J、v K）。Gの各非エッジ（u 、v ）に対して、有向エッジ（u I、v K）を追加します。$(u_I,v_J)$$(u_J,v_K)$$(u,v)$$G$$(u_I,v_K)$

まず、に三角形u 、v 、wが含まれている場合、Hは推移的ではありません。これは、エッジ（u I、v J）、（v J、w K）がHにあるが、（u I、w K）はそうでないためです。場合には、第2は、Hで推移的ではない、その後、いくつかのノードからいくつかの有向パスが存在しなければならないのは、いくつかのノードをTにHように$G$$u,v,w$$H$$(u_I,v_J),(v_J,w_K)$$H$$(u_I,w_K)$$H$$s$$t$$H$は Hの有向エッジではありません。しかし、最長の経路 Hが有する 2個のエッジを、任意のそのような経路の形式でなければならないので（U I、V J）、（V J、W K）及び（U I、W K）でない Hしたがって、 u 、v 、wは Gの三角形を形成します。$(s,t)$$H$$H$$2$$(u_I,v_J),(v_J,w_K)$$(u_I,w_K)$$H$$u,v,w$$G$

$\Omega(n^2)$$G$$G = G^2$

DAGが推移的であるかどうかを判断することは、一般的な有向グラフが推移的であるかどうかを判断するのと同じくらい難しいです（前の質問に戻ります:)）。

$O(f(n))$

$G$$G$$O(f(n)\cdot \log(\frac{1}{\delta}))$$\leq \delta$

 1. for $O(\log{\frac{1}{\delta}})$ iterations:

   1.1. Compute a random permutation on $V$. Denote the result by $<v_1,v_2,...,v_n>$.

   1.2. Set $G'=(V,E\cup \{(v_i,v_j)|i<j\})$ (i.e. compute a random acyclic orientation).

   1.3. If $G'$ (which is acyclic) is not transitive return false.

 2. return true.

$G$

$G$$e_1=(v_i,v_j),e_2=(v_j,v_k)\in E$$(v_i,v_k)\notin E$$G$$e_1,e_2\in G'$$\frac{1}{6}$$G$$\frac{1}{6}$$O(\log{(\delta)})$$\delta$

$O(n+m)$$n$$m$

$x$$i(x)$$0$$x$$M(x)$$R$

1. $x \in R$$M(x)$

2. $i(x)$$x$$R$

このアルゴリズムを問題や他のアプリケーションに使用できますか？