有向サイクルへのダイグラフ準同型の複雑さ

固定された有向グラフ（有向グラフ）与えられた$D$、 -COLORING決定問題は、入力された有向グラフかどうかを尋ねるに準同型有する。（からへの準同型は、アークを保存するからへのマッピングです。つまり、がアークである場合、は、）G D G D f V （G ）V （D ）u v G f （u ）f （v ）$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

-COLORING問題のクラスは、FederとVardi（citeseerでアクセス可能）が述べた CSPの二分法予想に強く関連しています。$D$

で、この2001年論文（作者のページにアクセスでき、ここで場合）、フェーダーは、二分法の定理を証明指向サイクルである（によって配向サイクル Iが各エッジを任意に配向させることができる単一の円弧により置換されている無向サイクルを意味します）言い換えれば、彼は、任意の方向付けられたサイクルに対して、 -COLORINGが多項式時間可解またはNP完全であることを示しています。D $D$$D$$D$

残念なことに、多くの場合の複雑さは方向に依存するSATの特定の制限されたバリアントの複雑さに関連しているため、Federの分類は非常に重要であり、明確ではありません。論文を見ても、私の質問に対する答えを特定することはできませんでした。

質問： -COLORINGがNP完全であるような、方向付けられたサイクルの最小サイズは何ですか？$D$$D$

答えは文献のどこかに述べられているかもしれませんが、私はそれを見つけることができませんでした。

編集：フェダーの分類について詳しく説明します。フェダーは、すべてのNP完全指向のサイクルはバランスがとれている必要があることを示しています。次に、方向によって引き起こされる「レベル」を検討します（任意の頂点でサイクルを回り始めます。円弧が右に行くと、1ずつ上がります。円弧が左に行くと、1ずつ下がります）。次に、「トップボトムラン」が最大で1つある場合、それは多項式です。そのような「実行」が少なくとも3つあり、サイクルがコアである場合、それはNP完全です。（コメントからのAndrásの例では、そのような「実行」は3つありますが、サイクルはコアではありません。）最もトリッキーなケースは、「トップボトム実行」が2つあるケースです。いくつかは難しい、いくつかは多項式であり、Federはそれらを二分法を得るために特別なSAT問題に関連付けます。

中間的な質問として：3つの「トップボトム」ランがあり、コアである最小の指向サイクルは何ですか？このような例は、上記の議論によってNP完全になります。

中間の質問（3つのトップボトムランのコア）の場合、これはどうですか？

いくつかの表記：私はで単語ごとにランを記述します。たとえば、l l r lはサブグラフ⋅ ← ⋅ ← ⋅ → ⋅ ← ⋅に対応します。レベルは、rアークで増加し、lアークで減少し、その最小値は0であると想定しています。簡単な制約は次のとおりです。$\{l,r\}^*$$llrl$$\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$$r$$l$$0$

• のみまたはrのみで構成される実行はできません。それ以外の場合、Dからこの実行への明らかな準同型性がある（Dの各ノードを同じレベルのノードにマッピングする）ためです。これは、最大レベルが少なくとも3でなければならないことも意味します。$l$$r$$D$$D$$3$
• 最大レベルが場合、すべての上から下（それぞれ下から上）の実行は、l l r （l r ）i l l（それぞれr r l （r l ）i r r ）の形式になります。繰り返しますが、Dからiを最小化する実行までの準同型を見つけることはそれほど難しくありません。$3$$llr(lr)^ill$$rrl(rl)^irr)$$D$$i$

ただし、最大レベルには、長さ36の解があります。Dが（r r r l r r l l l r l l ）3によって与えられることを考慮してください。これには、必要なトップボトムランがあり、コアです（以下を参照）。上記の制約により、各実行には「後方」のエッジが1つしかないため、それは必然的に最小限になります。$4$$36$$D$$(rrrlrrlllrll)^3$

これがコアであることを納得させるために、まず頂点に名前を付けましょう（）。下（つまりレベル0）の頂点はv 1、v 13、v 25です。Dからサブグラフへの準同型φはレベルを保存する必要があり、特にφ （v 1）∈ { v 1、v 13、v 25 } ; 明白な同型モジュロV I ↦ $v_1,\ldots,v_{36}$$0$$v_1,v_{13},v_{25}$$\varphi$$D$$\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$の場合、φ（ v 1）= v 1の場合を考慮するだけで十分です。近傍検討 V 1におけるD（レベルで注釈を）：$v_i\mapsto v_{i+12}$$\varphi(v_1)=v_1$$v_1$$D$

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

以降では、 φ （v 2）∈ { v 36、v 2 }とします。しかし、 φ （v 2）= v 36の場合、 φ （v 3）= v 35であり、 φ （v 4）の可能な値はありません。当社は、取得 φ （V 2）= V2、φ $\varphi(v_1)=v_1$$\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$$\varphi(v_2)=v_{36}$$\varphi(v_3)=v_{35}$$\varphi(v_4)$。次の φ （v 5）∈ { v 3、v 5 }、ただし φ （v 5）= v 3の場合、 φ （v 6）= v 4が得られ、 φ （v 7）に可能な値はありません$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$$\varphi(v_5)=v_3$$\varphi(v_6)=v_4$$\varphi(v_7)$。したがって、は実行全体の同一性でなければなりませんv 1 → … → v 7。残りの実行に対して同じ引数を繰り返すことにより、すべてのDに同じことが当てはまります。特に、φはDを適切なサブグラフにマッピングしません。$\varphi$$v_1\to\ldots\to v_7$$D$$\varphi$$D$