最小オートマトンとしての有向マルチグラフ

アルファベット通常言語与えられた場合、その最小の決定論的オートマトンは、一定のアウト度持つ有向接続マルチグラフと見なすことができますマークされた初期状態（遷移、最終状態のラベルを忘れることによる）。すべての頂点はそこからアクセス可能でなければならないため、初期状態を維持します。$L$$A$$|A|$

その逆は本当ですか？すなわち、すべての頂点がそこからアクセス可能であるような一定のアウト次数と初期状態を持つ有向接続マルチグラフが与えられると、が最小オートマトンの基礎となるグラフであるような言語は常に存在しますか？$G$$L$$G$$L$

たとえば、の場合、グラフは接頭辞がサイズでループがサイズ「投げ縄」である必要があり、の最小オートマトンに対応するため、trueです。。$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

動機付けは、決定可能性の削減で発生する関連する問題から生じます。解決策は、無指向の単純なグラフから始め、シンクの追加などのより多くの操作が許可されているからです。しかし、誰かがこのより自然な質問をすでに見ていたのではないかと思いました。

文献でリモート接続されている唯一のことは、「所定のリセットワードによる道路の色付けの複雑さ」のような論文です。その目的は、そのようなマルチグラフに色を付けて、結果のオートマトンが同期するワードを持つようにすることです。ただし、最小限度は考慮されていないようです。

更新：Klaus Draegerの回答後のフォローアップ質問：グラフがこの形状であるかどうかを決定する複雑さは何ですか？ラベリングを推測し、オートマトンの最小性を多項的に検証できるので、それはNPにありますが、もっと言えるでしょうか？

吸収ノードはすべて受け入れるか、または受け入れない必要があります（を入力すると、すべてまたは何も受け入れられません）。グラフに2つ以上の吸収ノードがある場合、それらのいくつかは、ラベル付けと受け入れセットの選択と同等になります。$n$$n$

より一般的には、強く接続されたグラフ場合、有限の数の異なる可能なラベリングと受け入れサブセットのみが存在します。グラフに、（ツリーの葉に接続されているなどと同等の以上の終端の強連結成分がある場合、最小オートマトンに対応できません。$H$$n(H)$$n(H)$$H$

編集、フォローアップ質問について：これはトリッキーに聞こえます。私の議論によって提案された1つのアプローチは次のようになります。

• をSCCに分割します。これは安いです。Tarjanのアルゴリズムを使用した。$G$$O(|V|+|E|)$
• SCCを同型クラスに分類します。残念ながら、グラフ同型はにあることが知られていません。$P$
• 各端末同型クラスについて、対応する許容サブオートマトンの数を決定し、十分でない場合は失敗します。受け入れるサブセットとエッジのラベル付けのすべての組み合わせが許可されるわけではないことに注意してください。たとえば、アルファベットがで、コンポーネントに2つのノードがあり、それぞれに自己ループと他のノードへのエッジがあるとします。両方のノードを受け入れ、両方のループを（および他のエッジを）でラベル付けすると、オートマトンが1つの吸収状態に似ており、最小性に違反します。$\{a,b\}$$a$$b$
• 下位のSCCを同様に扱い、下位のSCCを考慮します。この部分の詳細については少し曖昧です。

これは、複雑さがオープンであることが有名な1つのステップであり、それが指数時間を必要とする可能性がある別のステップです（許容オートマトンを決定するときに除外される双類似性クラスへの指数関数的に多くのパーティションがあるため）。もっと上手くできる？