グラフは、最大で1歩の方向があることをいつ認めますか？

次の問題を検討してください。

入力：単純な（無向）グラフ。$G=(V,E)$

質問：の方向性があります。の特性を満足させるには、すべてのためにというS 、T ∈ V（監督）多くても1つであり、S - トンの散歩？$G$$s,t \in V$$s$$t$

これは同等に次のように表現できます。

入力：単純な（無向）グラフ。$G=(V,E)$

質問：の非環式向きあり性を満たすには、すべてのためにそのS 、T ∈ V（有向）多くても1つである、S - Tのパス？$G$$s,t \in V$$s$$t$

答えが「はい」であるグラフのクラスは何ですか？この問題は多項式時間で解決できますか？

いくつかの観察：

1. グラフが2部構成の場合、答えは「はい」です。
2. グラフに三角形がある場合、答えは「いいえ」です。

最初の観察は、一方のパーティションから他方のパーティションにエッジを向けることによって行われます。2番目の観察は簡単に確認できます。これにより、2つの誤った推測が行われました。

1. 答えが「はい」であるのは、グラフが2部グラフである場合のみです。（反例：5サイクル）
2. グラフに三角形が含まれていない場合にのみ、答えは「はい」です（反例：5サイクルのエッジのデカルト積）

not-all-equal-3SATからの削減により、NP完全です。これを確認するには、

• $4$
• $P$$P$$5$$P$$5$$P$

$v$$k$$k$$4$$4$$4$$4$$4$$4$-サイクル。これらのガジェットは、長いパスの存在を介してではなく、エッジの方向でのみ相互に対話できます。

$4$$P$$P$$5$$5$

$s$$t$$s$$t$