有限のツリー幅の平面グラフの列挙

私は次の問題のリファレンスを探しています：整数および与えられ、個の頂点とツリー幅上のすべての非同型平面グラフを列挙します。私は理論と実際の両方の結果に興味がありますが、と可能な限り大きな値でコーディングして実行できるほとんどの実用的なアルゴリズムです（とと考えてください）。すでに回答がある場合は、以下のとりとめのない説明を無視してください。K N ≤ K N K K ≤ 5 N ≤ $n$$k$$n$$\leq k$$n$$k$$k \leq 5$$n \leq 15$

次のアプローチは、個の頂点とtreewidthすべての非同形グラフを列挙するために（つまり、平面性制約が削除された場合）、大丈夫です。≤ $n$$\leq k$

（a）個の頂点とtreewidth上のすべての非同型グラフを列挙します。≤ $n-1$$\leq k$

各頂点の（b）は上頂点とツリー幅、すべてのクリーク上の頂点にあらゆる部分集合のエッジの、作るから新たな頂点追加することによって、隣接。個の頂点とtreewidth上のgrah のリストにを追加します。N - 1 ≤ K C ≤ K G 、S C G ' G - S V C G ' L N ≤ $G$$n-1$$\leq k$$C$$\leq k$$G$$S$$C$$G'$$G - S$$v$$C$$G'$${\cal L}$$n$$\leq k$

（c）同じグラフのコピーを削除してトリミングします。${\cal L}$

これを拡張してtreewidth平面グラフを列挙する魅力的な方法は、単純にすべての反復で非平面グラフを除外することです。残念ながら、これはtreewidthすべての平面グラフの生成に失敗します（たとえば、縮退グラフしか列挙しないため）。≤ K $\leq k$$\leq k$$4$

もちろん、個の頂点とtreewidthすべてのグラフを列挙して、非平面のグラフのみを除外することもできますが、これはほとんどのグラフが非平面であり、最適とは言えないことを利用できません。≤ $n$$\leq k$

同型に関する小さな平面グラフを生成する便利なソフトウェアがあります。私が見るように、問題の1つは非同型の平面グラフを生成することであり、それらの平面グラフ（15頂点未満）のほとんどは小さなツリー幅です。

ツリー幅が指定された値よりも小さいかどうかを確認するには、正確なアルゴリズムが実用的でない場合に備えて、ヒューリスティックアルゴリズムを使用してこの計算を高速化する方法があります。たとえば、平面グラフ最初に直径と長さ（直径）の対応するパスを見つけることができます。次に、すべての頂点中で他の頂点最長距離（）が最も短い頂点を見つけます。のツリー幅は、これがより小さい場合、最大でです。G G PとDのV ∈ PのL U ∈ G ∖ P W ∈ P G D + Lの$k$$G$$G$$P$$d$$v\in P$$l$$u\in G\setminus P$$w\in P$$G$$d+l$$k$ その後、その他のヒューリスティックアルゴリズムを適用するか、正確なアルゴリズムを実行します。

3つ未満の接続グラフの場合、カットされた頂点を見つけてそれらの頂点を修正し、残りのグラフの木の幅を見つけることによって、ヒューリスティックを適用することもできます。しかし、ノードの数が少ない（）ので、グラフが連結である場合、直径は大きくなく、最初のヒューリスティックがそこで機能するはずです。（私は最大で15組の頂点上の任意の5接続された平面グラフがある場合は知っているが、我々が知っているように何もありません -connected平面グラフのための）4 t t > $15$$4$$t$$t>5$

ツリー幅の最大障害物のサイズ がわからないため、特定のグラフツリー幅の上限値を簡単に推測することはできません。しかし、少なくとも平面グラフの場合、それほど大きくはならないようです（これについて証拠を示す必要があります）。$k$$G$

すべてのペア列挙できます。ここで、はツリー幅が最大で平面グラフで、はサイズバッグであり、をバッグとして持つツリー分解が存在します。G k B k G $G,B$$G$$k$$B$$k$$G$$B$

ここで、が個の頂点を持つすべてのペアについて、を近傍として頂点を追加することにより、すべてのサブセットに対して新しいグラフを作成し、をサイズサブセットとする。が平面で、既に見つかったペアに同型でない場合はを追加します。G N - 1 G ' S B V S B 'のk B ∪ V G '、B ' 、G $G,B$$G$$n-1$$G'$$S$$B$$v$$S$$B'$$k$$B \cup v$$G',B'$$G'$

格納する必要があるエントリ数の簡単な上限は、に列挙グラフの数を掛けたものですが、これは悲観的な限界です。ツリー幅kのほとんどのグラフでは、サイズkのほとんどのサブセットはバッグできません。たとえば、グリッドはバッグしかありません。、K×NN⋅3K-$n \choose k$$k \times n$$n \cdot 3^{k-1}$

これは、非平面グラフのアルゴリズムと同様に機能すると思います。すべてのペアG、Bについて、Bをクリークにしてグラフを取得します。これらのグラフのほとんどは同型ではありません。

これをスピードアップするために適用できるいくつかのトリックがあります。以下を検討することをお勧めします。http： //www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf