ペアワイズの互いに素なセットの最大数を見つける複雑さ

私が持っていると仮定しから取られた要素を持つ集合の可能なものを。各セットのサイズは（）であり、セットはオーバーラップできます。次の2つの問題がNP完全であるかどうかを確認したいと思います。$P$$r$$n$$n<r$

問題のA.あります（）の異なる内のセットセットが（すなわち、そのペアワイズ交差が空ですか）？$M$$1 \le M \le P$$P$

問題B.今すぐ（）の要素は、各セットから選択することができます。ある（）異なるサイズのセットは、以内それぞれセット？各セットから取得できる要素のセットは1つだけであることに注意してください。$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$要素の。

備考：私は主にケースに興味が固定されている（N ≥ 2 、K ≥ 2）。$k,n$$n \ge 2, k \ge 2$

問題Aはユニフォームr -partiteハイパーグラフマッチング問題と考えることができます。つまり、頂点としてrの要素があり、各ハイパーエッジにはグラフのn個の頂点のサブセットが含まれています。$n$$r$$r$$n$

1. で -uniform R NP完全-partiteハイパーグラフマッチング問題？$n$$r$

2. 問題Bは、カーディナリティnのハイパーエッジから取得されたカーディナリティの個別のハイパーエッジの数を見つけることと同等であると思います。この制限付きバージョン（各kカーディナリティーセットは、r要素から任意に取得されるのではなく、事前に選択されたn要素のセットから取得されるという意味で）は問題A NP完全ですか？$k$$n$$k$$n$$r$

例（）：$n=3,r=5, P=3$

、 B = { 2 、3 、4 }、 C = { 3 、4 、5 $A=\{1,2,3\}$$B=\{2,3,4\}$$C=\{3,4,5\}$

場合、唯一存在するM = 1である1つの異なるセット、A又はB又はCの対のそれぞれから、（A 、B ）、（A 、Cは）、（B 、Cは）非有します空の交差点。$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

場合、我々はL = 2つの異なるセット：一つの解決策は、{ 1 、2 }、{ 3 、4 }（サブセットA及びB）。$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$

これは最大セットパッキング問題の特別なケースであり、問題AとBの両方がNP-Completeです。この問題は、n = 2の場合は単にマッチング問題であり、n = 1の場合も簡単であることに注意してください。だから私は仮定しますN ≥ 3。$n=2$$n=1$$n \ge 3$

質問する代わりに、

Pセットの中にばらばらのセットはありますか？$M$$P$

次の質問をしましょう

セットから取得できるばらばらのセットの最大数はいくつですか？$P$

2番目の質問は多項式時間で応答可能であるならば、そのように私たちがしなければならないすべては、この最大値と比較されて以来初めてであることは明らかであると出力YESを場合Mが未満か、この最大値とに等しいNOそう。$M$$M$

また、最初の質問が多項式時間で回答可能である場合、バイナリ検索を使用して2番目の質問への回答を取得し、Oの係数（log M）のみを追加できるため、2番目の質問も可能です。$M$$O(\log{M})$

したがって、両方の質問は同等であると結論付けることができます。つまり、質問1は、質問2もそうである場合に限り、多項式時間解決可能です。

出力されたセットがばらばらであることを簡単に確認できるため、問題がNPにあることも明らかです。$M$

では、問題は、既知のNP-Hard問題をこれにどのようにして減らすのかということです。これを行うには、最大セットのパッキング問題を減らします。問題Bはk = n − 1を設定することで簡単に難しいことがわかるので、私は単に問題Aに焦点を当てます。$k=n-1$

最大集合パッキング問題任意のインスタンスを考えます。問題Aと元の最大セットパッキング問題の唯一の違いは、問題Aでは、セットのサイズが等しくなければならないことです。してみましょうtは内のすべてのセット間の最大カーディナリティなるT。内のすべての設定されている場合Tは同じカーディナリティを持って、我々が行われており、集合カバー問題はexactlly問題A.ある現在、いくつかのセットのためにあるとし、S I ∈ T、我々が持っています| S i | < t。私たちは、単に追加（トンを- | S I |）に要素を$T$$t$$T$$T$$S_i \in T$$|S_i| < t$$(t-|S_i|)$Tのどのセットの要素でもない S i。すべてのセットがするまで、私たちは、このプロセスを繰り返し、S I ∈ Tが同じ大きさを持っています。この方法で新しい要素を追加しても、ばらばらのセットの最大数のサイズが変化しないことは明らかです。$S_i$$T$$S_i \in T$

したがって、問題を多項式時間で解くことができれば、追加した追加の要素を削除するだけで、多項式時間で最大集合パッキング問題を解くことができます。これを行っても、サイズのサイズは変わりません。Tのばらばらのセットの最大数。$A$$T$

編集-問題Bに関する追加情報

問題Bに多項式の時間解があると仮定します。次に、セットごとにn個の要素を持つ問題Aの任意のインスタンスを考えます。次に、Tの各セットにダミー要素dを追加します。次の質問をします。$T$$n$$d$$T$

各セットから要素を取得することで取得できるばらばらのセットの最大数はいくつ ですか？$n$

これで、最大のセットのうち、最大で1つのセットにダミー要素を含めることができることがわかりました。したがって、最大として得られる答えが場合、インスタンスTの実際の最大セット数（元の問題A）Mまたは（M − 1 ）のいずれかですが、これにより、最大セットパッキングの定数係数近似が得られます。そして、そのような近似は、P = N Pの場合にのみ可能です。したがって、問題Bも困難です。$M$$T$$M$$(M-1)$$P=NP$