タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

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一般的な重み付き無向グラフから最適な並列化を見つける
重なり合う画像の「ブレンド」セットの問題を解決しています。これらのセットは、次のような無向の重み付きグラフで表すことができます。 各ノードは画像を表します。重なっている画像はエッジで接続されています。エッジの重みはオーバーラップエリアのサイズを表します（大きいオーバーラップをブレンドすると、全体的な品質が向上します）。 アルゴリズムは通常、エッジを削除します。順次または並行して実行できます。ただし、ブレンドが発生すると、ノードがマージされ、グラフ構造が変化します。したがって、並列化は、それら自体が重複していない接続されたコンポーネントでのみ可能です！ このような重複しないコンポーネントは、DBとFEGです。これらのコンポーネントでブレンドアルゴリズムを安全に並行して実行できます。結果は次のグラフになります（マージされたノードは緑色で表示されます）。 これで、2つの接続されたコンポーネントがオーバーラップしている（コンポーネント間に直接エッジがある）ため、これ以上の並列化は不可能です。 アルゴリズムの並列バージョンは次のようになります。 1. Find connected components (no two are connected directly) and create task for each. 2. Run the tasks in parallel. 3. Update graph. 4. Until single node remains, continue with 1. トリッキーな部分は最初のステップです：接続されたコンポーネントの最良のセットを見つける方法？ 1つの方法は、特定の反復でコンポーネントの最大数を単純に見つける貪欲なアルゴリズムです。貪欲なアルゴリズムは、最初は並列化を最大化しますが、後で多くの反復を犠牲にします。 最適なソリューションは、並列化を最大化し、同時に反復回数を最小化するために、各反復で適切な量の接続コンポーネントをもたらすことです（最適化には2つの変数があります）。 私は、バックトラッキング以外の最適化アルゴリズム、つまり可能なすべての進化の空間を検索し、最大の並列化を持つものを選択することは考えられません。 エッジの重みは無視できますが、大きいバージョンのブレンドには時間がかかるため、アルゴリズムの改良版ではそれが考慮される場合があります（たとえば、サイズ200のエリアのブレンドには、サイズ100の2つのエリアの約2倍の時間がかかります）。重みを考慮に入れると、コンポーネントを選択する際の戦略が向上する可能性があります（アルゴリズムの全体的な実行時間の高速化）。 最大の並列化と最小の反復回数が得られるようにグラフの一部を選択する最良の戦略を見つける、そのような最適化アルゴリズムの手がかりはありますか？
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最小カットを最大化するための容量の増加
すべてのエッジが単位容量を持つグラフを考えます。多項式時間で最小カットを見つけることができます。 エッジの容量を無限に増やすことが許可されているとします（エッジの両側のノードをマージするのと同じです）。最小カットを最大化するためにkエッジの最適なセット（容量は無限に増加します）を選択する最適な方法は何ですか？kkkkkk
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すべての頂点マッチングでの最小全域木
私は多項式時間アルゴリズムを書き出すことができないこのマッチング問題に遭遇しました。 レッツ頂点集合と完全重み付きグラフもP VとQ Vところ、それぞれ、| P V | = | Q V | = n。また、w Pとw QをそれぞれPとQのエッジの重み関数とします。P,QP,QP, QPVPVP_VQVQVQ_V|PV|=|QV|=n|PV|=|QV|=n|P_V| = |Q_V|=nwPwPw_PwQwQw_QPPPQQQ 全単射次のようにQを変更します：f （p ）= qおよびf （p ′）= q ′でw P（p 、p ′）> w Q（q 、q ′）次にw Q（q 、q ′）= w Pを設定f:PV→QVf:PV→QVf: P_V \to Q_VQQQf(p)=qf(p)=qf(p) = qf(p′)=q′f(p′)=q′f(p^\prime) = q^\primewP(p,p′)>wQ(q,q′)wP(p,p′)>wQ(q,q′)w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)。この変形グラフで示す …
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平面グリッドからランダムに選択されたポイントの最短ハミルトニアンパスの予想長はどれくらいですか？
kkk点がグリッドからランダムに選択されます。（明らかにk \ leq p \ times qであり、与えられた定数です。）頂点iと頂点jの間のエッジの重みが元のグリッド上の2つの頂点のマンハッタン距離に等しくなるように、これらのkポイントから完全な重み付きグラフが作成されます。。K ≤ Pp × qp×qp\times qK I JK ≤ P × Qk≤p×qk\leq p\times qkkk私iijjj これらのk個のノードを通過する最短（最小総重量）ハミルトニアンパスの予想される長さを計算する効率的な方法を探しています。より正確には、次の素朴なアプローチは望ましくありません。kkk ∙∙\bullet kノードのすべての組み合わせの正確なパス長を計算し、予想される長さを導き出します。 ∙∙\bullet最小スパニングツリーを使用するという基本的なヒューリスティックを使用して、最大50％のエラーが発生するkノードのすべての組み合わせの概算パス長を計算します。（エラーが少ない、より良いヒューリスティックが役立つ場合があります）
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ODD EVEN DELTA問題
ましょうグラフです。してみましょう整数である。ましょうエッジ誘発される部分グラフの数でを有する頂点と辺の奇数。ましょうエッジ誘発される部分グラフの数でを有する頂点と辺の偶数。ましょう。ODD EVEN DELTAの問題は、と指定してを計算することです。G=(V,E)G=(V,E)G = ( V, E )k≤|V|k≤|V|k \leq |V|OkOkO_kGGGkkkEkEkE_kGGGkkkΔk=Ok−EkΔk=Ok−Ek\Delta_k = O_k - E_kΔkΔk\Delta_kGGGkkk ご質問 を多項式時間で計算することは可能ですか？それを計算するための最もよく知られているアルゴリズムはどれですか？ΔkΔk\Delta_k が3正規の場合はどうなりますか？GGG が3正規二部式である場合はどうなりますか？GGG が3正規二部平面である場合はどうなりますか？GGG
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ビクリクを数えるパラメータ化された複雑さ
前の質問「ビクリクを見つけるためのパラメタライズドアルゴリズム」では、頂点グラフで -biclique を見つけるための高速パラメタライズドアルゴリズムがあるかどうかを調べ、FPT wrt場合は開いていることを学びました。 -bicliques をカウントする場合も同じですか、またはこれが＃W -hard wrt（または他の硬度の概念）であることがわかっていますか？k×kk×kk\times knnnkkkk×kk×kk\times kW\[1\]W\[1\]W\[1\]kkk 私はそのカウントを知っ誘発 -bicliquesは＃です -hard、セクション4.5で誘発biclique見つけるための簡単な削減拡大セルジュGaspers'論文を。k×kk×kk\times kW\[1\]W\[1\]W\[1\]
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ランダムグラフを含む不一致のバリエーション
ノードのグラフがあるとします。各ノードにまたはいずれかを割り当てます。これを構成呼びます。割り当てる必要があるの数は正確に（したがっての数はです。）構成与えられた場合、各ノードを調べ、隣接ノードに割り当てられた値を合計して、次のように呼び出します。 this。次に、が非負であるノードの数をカウントします： nn+1+1−1−1σ∈{+1,−1}n\sigma \in \{+1,−1\}^n+1+1ss−1−1n−sn−sσ\sigmaiiξi(σ)\xi_i(\sigma)ξi(σ)\xi_i(\sigma)N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}. 問題は、を最大化する構成は何ですか？さらに重要なことに、s / nの観点から範囲を指定できますか。この問題が誰にも馴染みのあるものに見えるのか、それともグラフ理論の既知の問題に還元できるのか疑問に思っています。それが役立つ場合、グラフはErdős-Renyi型のランダム（たとえば、エッジ確率p〜（\ log n）/ nの G（n、p）、つまり、平均次数が\ log nとして増加する）であると想定できます。主な関心事は、s / n \ in（0,1 / 2）の場合です。σ\sigmaN(σ)N(\sigma)(maxN)/n(\max N)/ns/ns/np (logn)/np ~ (\log n)/nlogn\log ns/n∈(0,1/2)s/n \in (0,1/2)
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双対の互いに素なホモトピックサイクルのペアはグラフを分離しますか？
ましょう属の配向コンパクト表面に埋め込まれたグラフであるG埋め込みが携帯されるようになっています。グラフG ∗の双対について考えます。LET C 1及びC 2は、で互いに素サイクルであるG *互いに同位置でありせE 1及びE 2はでそれらの対応するエッジ集合であるGそれぞれ。あるG ∖ （E 1 ∪ E 2）切断されたグラフは？GGGgggG∗G∗G^*C1C1C_1C2C2C_2G∗G∗G^*E1E1E_1E2E2E_2GGGG ∖ （E1∪ E2）G∖(E1∪E2)G \setminus (E_1 \cup E_2)
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特定のプロパティを持つグラフセパレータを見つける複雑さ
特定のプロパティを満たす（任意のサイズの）セパレータを見つけることの複雑さに関する既知の結果はありますか？ クリークセパレーターを見つけるのは簡単（多項式時間）であることを知っています。また、多くの論文では、小さいセパレーター、またはサイズの連結成分を最大で元のグラフのサイズの数分の1にするセパレーターを見つける問題を考慮していることを知っています。しかし、他のプロパティを持つセパレータが必要な場合、たとえば、3分割、2分割、または2接続のセパレータが必要な場合はどうでしょうか。決定がNP困難なプロパティを作成することも簡単であるため、PケースとNPCケースを区別すると興味深いでしょう。 編集：（このウェブサイトのユーザーではない）誰かが、プロパティが「ユニバーサル頂点を持っている」場合は多項式であり、プロパティが「独立セットを誘導する」または「完全を誘導する場合はNP完全である二部グラフ」。
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すべてのサイクルを見つける
私は有限集合、関数、およびS上の全順序を持っています。Sの異なるサイクルの数を調べたい。f ：S → S &lt; SSSSf：S→ Sf：S→Sf:S\to S&lt;&lt;<SSSSSS 与えられた要素s \ in Sに対して、S ∈ Ss∈Ss\in Sフロイドのアルゴリズム（またはブレントのアルゴリズムなど）を使用して、fを繰り返し適用してsをfff送信するサイクルの長さを見つけることができます。もう少し努力すれば、このサイクルを特定できます（たとえば、&lt;-最小要素によって）。問題を解決するための悪い方法は、この各要素を繰り返し、重複を破棄して結果の最小要素をソートし、カウントを返すことです。ただし、これには、同じ要素に対する多くのパスと大きなスペース要件が含まれる可能性があります。sss&lt;&lt;< 時間と空間のパフォーマンスが優れているのはどの方法ですか？必要なスペースを測定する最良の方法が何であるかさえわかりませんfffが恒等関数である場合、すべてのサイクルを格納するメソッドはすべてΩ （n ）Ω（ん）\Omega(n)スペースを使用します。
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セットのメンバーシップのテストがNP完全であることがわかっている場合、セットのカーディナリティーをバインドできますか？
個の頂点を持つユニットディスクグラフのカーディナリティに制限を設けたいのですが。グラフがこのセットのメンバーであるかどうかを確認することはNP困難であることが知られています。これは、P NPを想定して、カーディナリティの下限につながりますか？NNN≠≠\neq たとえば、個の頂点を持つすべてのグラフに順序があるとします。NP硬度は、カーディナリティがを超えていることを意味します。それ以外の場合は、セットをバイナリ検索して多項式時間のメンバーシップをテストできますか？これは、なんとかしてセットをメモリに格納したことを前提としています...これは許可されますか？NNN2N2N2^N 定義：グラフは、各頂点を平面内の単位ディスクに関連付けることができ、頂点がそれらのディスクが交差するたびに接続される場合、単位ディスクグラフです。 以下は、ユニットディスクグラフのメンバーシップテストのNP硬度に関するリファレンスです。http： //disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf
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互いに素な四面体のコレクションとしてグラフを埋め込む
互いに素なインテリアを有する四面体の接続コレクション（四面体の共有のみにK-面として3Dメッシュを定義）。任意のグラフが与えられた場合、それをメッシュとして埋め込むことができるかどうかをテストする効率的な手順はありますか？K ≤ 2k≤2k \le 2 ここで、埋め込みとは、グラフの頂点を点に、エッジを直線にマッピングしたもので、エッジは頂点でのみ交差し、面はエッジでのみ交差し、2つの面は内部で交差しません。R３R3R^3
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グラフの「形状」を説明できる「グラフィカル」代数はありますか？
グラフ列挙の主な問題の1つは、グラフの「形状」、たとえば特定のグラフの同型クラスを決定することです。すべてのグラフが対称行列として表現できることを十分に承知しています。ただし、その形状を取得するには、行/列の順列のコレクションが必要になるため、マトリックスの適性はやや低くなります。また、いったんその形になると、グラフを「見る」のが少し難しくなります。 私の質問は、グラフの「形状」を説明できる「グラフィカル」代数はありますか？ 私が考えているのは、代数的トポロジーがどのような形式のシステムを考え出すのかということです。特に、ノット不変量の代数や、オペラードやポリグラフなどの表記法。この種の「落書き代数」はあまり発達していないので、グラフにはそのような代数が存在しないと信じる理由があるかもしれませんが、そうでないと仮定する前に尋ねたいと思います。 更新： 私の質問はおそらく非常に狭く、すぐに「はい」で答えられないので、モデレーターが気にしない場合は、次のように質問を広げます。 そのようなシステムを作成するために（簡単に、またはその他の方法で）適応できる既存のシステム（上記で説明した種類）はありますか？複数ある場合は、お気軽にお知らせください。そして、すでに述べたものも投入してください。 動機 このような質問に対する私の動機は、実際には非対称グラフを分類することです。私はまだ学部生ではないので、代数グラフ理論の現在の状態の私のレビューはかなり薄いです。しかし、すべてのグラフを代数的な方法で体系的に説明しようとする取り組みがあったとしても、まだまだ多くは見ていません。 そのようなシステムが役立つ実用的な例 すべてのオイラーグラフに次数の頂点がなければならないという証明を記述したいとします。標準証明は通常、使用される実際のエッジに言及せずに、偶数および奇数の程度に関する引数を使用します。典型的な学生はそのような証拠を初めて見つけ、おそらく自分自身の議論を説得しようとしてグラフを描き始めます。しかし、おそらく純粋な「論理」論よりも優れたツールは、そのような言語からの「シンボル」のコレクションが「完全性」の条件を満たさないことを示すことでしょう。 ええ、私は知っています、私はこの最後の部分で手を振っています。もしそうでなければ、おそらく自分でそのようなシステムを作成し始めるでしょう！ しかし、少しあいまいであることを無視すると、グラフ理論の古くからよく知られている定理の多くは難しくはないが、本当に優れたフレームワークが統一されたビューに「結び付く」「パッケージ化できる」という概念を必要とするように感じます。
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