ツリー幅とパッキング

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私の質問は少し曖昧です。私は、ツリー幅の概念をグラフのパッキング問題に適用できるかどうか（およびその方法）を考えていました。

私はこれに関する過去の研究の洞察や参照に満足しています（それらが何らかの関係であると仮定します）。ありがとう。

— ニキル
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この質問は2つの方法で解釈できます。

1）有界ツリー幅のグラフ上のパッキング問題のアルゴリズムのプロパティに関して、クールセルの定理は、すべての固定された $k$ 、最大のツリー幅のグラフ上の線形時間でモナディック2次論理で表現可能な問題を最適に解決できることをいます（たとえば、http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 $k$ 有界ツリー幅グラフのアルゴリズム特性に関する調査）。多くのパッキング問題はMSOLで定式化できるため、これは、独立セット、三角形パッキング、サイクルパッキング、固定グラフの頂点/エッジの素なコピーのパッキング、頂点の分離したマイナーモデルのパッキングなど、境界付きツリー幅のグラフでのそのような多くの問題の扱いやすさを証明します。いくつかの固定グラフHなど。ただし、この扱いやすさはMSOLで定義可能なすべての問題に及ぶため、パッキングに固有のものではありません。

2）パッキングとツリー幅の間のグラフ構造の関係になると、次のことが興味深いかもしれません。機能があることが知られているロバートソンとシーモアの仕事のおかげで少なくともツリー幅のすべてのグラフように含まマイナーとしてグリッド（オリジナル行きによって与えられますシーモアとロバートソンは後にトーマスと共同で改善されました; 現在の最高の限界についてはhttp://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732を参照してください）。したがって、コピーが多くなるような構造がある場合 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f(r)$ $r \times r$ $f$ $S$ $S$ グリッドマイナーにパックできます。大きなツリー幅のグラフにはのコピーの大きなパックが含まれていることがわかります。たとえば、グリッド（偶数）には頂点分離サイクルが含まれるため、ツリー幅グラフには少なくとも分離サイクルが含まれます。 $r \times r$ $S$ $r \times r$ $r$ $(r/2)^2$ $f(r)$ $(r/2)^2$

— バート・ヤンセン
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バートこれは関係ないかもしれませんが、グラフの再構築とツリーの幅の間に何か関係がありますか？また、あなたの教授論文の無料版へのリンクはありますか？（境界付きツリー幅のグラフの組み合わせ最適化）

— Saeed

ツリー幅のペーパーはCiteseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561で入手できます。グラフの再構築について：単一の頂点を削除することによって取得されるすべてのサブグラフのマルチセットが与えられた場合、元のグラフを再構築するプロセスを意味しますか？Shiva Kintaliは最近、グラフ再構成予想がツリー幅2（cstheory.stackexchange.com/questions/5155/…）に当てはまるかどうかの質問を調べたようです。

— Bart Jansen

Bartに感謝します。そう、Shivaの質問が表示されますが、1年前のことでしたが、何か新しい結果があるかもしれません。

— Saeed

ShivaのWebサイトには、「kツリーと通常のグラフのツリーの再構築について」と「新しい再構築可能なグラフのプロパティ」という2つの写本が「pdf近日公開予定」（cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon）とともに掲載されています。）。現在の最新技術について質問するには、彼に直接連絡することができます。

— Bart Jansen

r \times r

$r \times r$

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$

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$2^k \operatorname{poly(n)}$ $k$

— ジャンヌ・H・コルホネン
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Janneに返信いただきありがとうございます。MISアルゴリズムを知っています。MISとは別に、ツリー幅の概念は他の構造のパッキングに適用されていますか？また、MISをばらばらの星の詰め物と考えることはできませんが、この点について説明してください。（どの星の構造をパックしようとしていますか。「ばらばらの星」の概念は何ですか）？

— Nikhil、2012

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回答を投稿するときに思ったほど簡単ではありません。「端がばらばらの星をパッキングする」のがより適切であり、その場合、配置された星は可能な限り大きな次数を持つ必要があります。ツリー幅がもっと複雑なパッキング問題に適用されたのを覚えていません。

— Janne H. Korhonen、2012

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最大独立集合は、通常の用語では確かに「パッキング問題」です。パッキング問題の別の例は、最大マッチングです。（これらは整数プログラムをパッキングしています。LPリラクゼーションはパッキングLPです。）

— Jukka Suomela '19

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このトピックに関するすばらしい参考資料は、以下のブルース・リードの調査記事です。

リード、B。（1997）。ツリーの幅ともつれ：新しい接続性測定といくつかのアプリケーション。組合せ論の調査、241、87-162。

私の最近の論文の1つでは、ツリー幅分解の定理を介して、場合によってはグリッドマイナー定理をバイパスすることができます。以下の論文を参照してください。

大ツリー幅グラフの分解とアプリケーション http://arxiv.org/abs/1304.1577

— チャンドラ・チェクリ
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これも曖昧な答えです。有界ツリー幅のグラフには、エルドスポサの定理に似た双対性があります。たとえば、Fedor V. Fomin、Saket Saurabh、Dimitrios M. Thilikos：マイナークローズドグラフクラスのErdös-Pósaプロパティの強化を参照してください。Journal of Graph Theory 66（3）：235-240（2011）

— R2-D2
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