グラフの「形状」を説明できる「グラフィカル」代数はありますか？

グラフ列挙の主な問題の1つは、グラフの「形状」、たとえば特定のグラフの同型クラスを決定することです。すべてのグラフが対称行列として表現できることを十分に承知しています。ただし、その形状を取得するには、行/列の順列のコレクションが必要になるため、マトリックスの適性はやや低くなります。また、いったんその形になると、グラフを「見る」のが少し難しくなります。

私の質問は、グラフの「形状」を説明できる「グラフィカル」代数はありますか？

私が考えているのは、代数的トポロジーがどのような形式のシステムを考え出すのかということです。特に、ノット不変量の代数や、オペラードやポリグラフなどの表記法。この種の「落書き代数」はあまり発達していないので、グラフにはそのような代数が存在しないと信じる理由があるかもしれませんが、そうでないと仮定する前に尋ねたいと思います。

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私の質問はおそらく非常に狭く、すぐに「はい」で答えられないので、モデレーターが気にしない場合は、次のように質問を広げます。

そのようなシステムを作成するために（簡単に、またはその他の方法で）適応できる既存のシステム（上記で説明した種類）はありますか？複数ある場合は、お気軽にお知らせください。そして、すでに述べたものも投入してください。

動機

このような質問に対する私の動機は、実際には非対称グラフを分類することです。私はまだ学部生ではないので、代数グラフ理論の現在の状態の私のレビューはかなり薄いです。しかし、すべてのグラフを代数的な方法で体系的に説明しようとする取り組みがあったとしても、まだまだ多くは見ていません。

そのようなシステムが役立つ実用的な例

すべてのオイラーグラフに次数の頂点がなければならないという証明を記述したいとします。標準証明は通常、使用される実際のエッジに言及せずに、偶数および奇数の程度に関する引数を使用します。典型的な学生はそのような証拠を初めて見つけ、おそらく自分自身の議論を説得しようとしてグラフを描き始めます。しかし、おそらく純粋な「論理」論よりも優れたツールは、そのような言語からの「シンボル」のコレクションが「完全性」の条件を満たさないことを示すことでしょう。

ええ、私は知っています、私はこの最後の部分で手を振っています。もしそうでなければ、おそらく自分でそのようなシステムを作成し始めるでしょう！

しかし、少しあいまいであることを無視すると、グラフ理論の古くからよく知られている定理の多くは難しくはないが、本当に優れたフレームワークが統一されたビューに「結び付く」「パッケージ化できる」という概念を必要とするように感じます。

多くの人が、グラフの形を表す代数言語を見つけようとしました。この質問は本質的に構造グラフ理論を動機づけるものです。

離散数学のこの領域の中心は、グラフ分解の研究です。この分野で働いている人々の一部は、ニール・ロバートソン、ポール・シーモア、ロビン・トーマス、マリア・チュドノフスキー、クリスティーナ・ヴシュコヴィッチ、および彼らの共同研究者ですが、このリストは私自身の研究関心に偏っています。

特定の種類のグラフ分解は、グラフ理論で最も一般的な結果のいくつかをもたらしました。たとえば、グラフマイナープロジェクトのために開発され、Robertson-Seymourの定理につながった主要な技術ツールの1つは、グラフ構造の定理です。これは、一部のマイナーを除外するグラフのクラスを、より単純なグラフから構築できることを示しています。

$G$$G$$G, \overline{G}$$G$

これまでに研究された分解は、ある意味では代数的ではありません。私の個人的な直感は、あなたが求めるような「良い」システムがないという兆候があるということです。このglibステートメントを正確にするには、有限モデル理論において重要な企業が必要になる可能性がありますが、それがグラフ理論の興味深い新しい結果（成功かどうかにかかわらず）につながる可能性もあると思います。

グラフの通常の表現は純粋に関数型の言語で使用するには洗練されておらず非効率的であるため、この質問は関数型プログラミングでは重要です。

昨年のICFP で、Andrey Mokhovによる「クラス（関数型の真珠）を使った代数グラフ」という素晴らしいアプローチが発表されました。

それがあなたのニーズに完全に答えるかどうかはわかりませんが、それは代数的に多種多様な有向グラフと無向グラフを代数的に表すことができます。