ODD EVEN DELTA問題

ましょうグラフです。してみましょう整数である。ましょうエッジ誘発される部分グラフの数でを有する頂点と辺の奇数。ましょうエッジ誘発される部分グラフの数でを有する頂点と辺の偶数。ましょう。ODD EVEN DELTAの問題は、と指定してを計算することです。$G = ( V, E )$$k \leq |V|$$O_k$$G$$k$$E_k$$G$$k$$\Delta_k = O_k - E_k$$\Delta_k$$G$$k$

ご質問

1. を多項式時間で計算することは可能ですか？それを計算するための最もよく知られているアルゴリズムはどれですか？$\Delta_k$
2. が3正規の場合はどうなりますか？$G$
3. が3正規二部式である場合はどうなりますか？$G$
4. が3正規二部平面である場合はどうなりますか？$G$

ODD EVEN DELTAの問題は、3正規の2部平面グラフでも#P困難です。

ましょう、一般的なグラフの頂点被覆の集合。次に、に孤立した頂点がないと仮定すると、次の方程式が成り立ちます（証明については上記の記事を参照してください）。$\mathcal{C}$$G$$G$

$$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$$

頂点カバーのカウントは、3正規の2部平面グラフでも#P完全であり、ODD EVEN DELTAオラクルへの線形数の呼び出しで実行できます。

更新：

以下の答えは特殊なケースに関するものであることを指摘しておく必要があります 。この場合は難しいので、一般的なの問題も難しいです。$k = |V|$$k$

Holantフレームワークは本質的に、スパンするサブグラフの指数和です（つまり、すべての頂点がサブグラフに存在するため、和はエッジのサブセットにあります）。対照的に、現在のバージョンの質問は、エッジ誘導サブグラフに関するものです。

この質問の以前のバージョンは、孤立した頂点がない特定のサブグラフを数えることに関するものでした。以下の答えは、この要件に正しく対応しています。スパンニングサブグラフ（つまり、Holantフレームワーク）と分離された頂点がないことの両方を検討する場合、これは、でエッジが誘発するサブグラフを検討することと同じです頂点。OPは基本的にこの質問でこれを指摘しました。$|V|$

3-正則平面グラフ

今のところ、グラフが2部グラフであるという要件は無視します。$G$

が3正規平面グラフであると仮定します。あなたの問題は二部平面ホラント問題として表すことができます$G$

$$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$$

その方法を説明させてください。以下に提供する詳細については、このペーパーを参照してください。

Holantは、エッジへの（ブール）割り当ての合計です。頂点には制約があり、その入力はその入射エッジへの割り当てです。エッジへの割り当てごとに、すべての頂点制約の積をとります。

孤立した頂点がないという要件は、特定の頂点で、その入射エッジが選択されていない場合は満たされず、少なくとも1つのエッジが選択されている場合は満たされる制約です。この対称制約は[0,1,1,1]で表され、入力1の数が0（サブグラフに入射エッジがない）の場合は0（つまり、満たされない）を出力し、数が1の場合は1（つまり、満たされた）を出力します。入力1の1、2、または3（つまり、サブグラフの1、2、または3つの入射エッジ）。

他の要件は、偶数のエッジを持つサブグラフの数から奇数のエッジを持つサブグラフを引いた数を計算することです。グラフ場合、各エッジを長さ2のパス（ 2ストレッチとも呼ばれます）で置き換えます。これにより、（2,3）-正則2部グラフが得られます。元のすべての頂点に、上から制約[0,1,1,1]を割り当てます。すべての新しい頂点に、制約[1,0、-1]を割り当てます。この制約の中央のエントリは0であるため、これらの2次の頂点の入射エッジは、両方とも0（つまり、サブグラフではない）に割り当てられるか、両方とも1（つまり、サブグラフ内）に割り当てられます。ここで、エッジへの特定の割り当てについて、数$G$$G$$n$「元の」エッジの数が偶数の場合、すべての次数2の頂点からの寄与はです。それ以外の場合、は奇数で、寄与度はです。これはまさにあなたが望むものです。$(-1)^n = 1$$n$$(-1)^n = -1$

この2部構成のHolant問題は、このペーパーの定理6.1による＃P-hard です。ただし、その定理は適用が最も簡単ではありません。代わりに、以下を検討してください。

によってホログラフィック変換を行いますこれはHolantの値を変更しません。したがって、上記の問題はまったく同じです$T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

$$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$$

次に、この問題が、このペーパーの Theorem 1.1による＃P-hardであることが簡単にわかります。

二部グラフに制限する

前の質問と同様に、 2部グラフに限定された同じ問題は処理がはるかに難しく、未解決の問題であると私は思います。扱いやすいケースについては推測がありますが（問題がそれらの1つであるかどうかを確認します）、2部グラフに制限されている場合でも、問題は#P難しいと思います。