セットのメンバーシップのテストがNP完全であることがわかっている場合、セットのカーディナリティーをバインドできますか？

個の頂点を持つユニットディスクグラフのカーディナリティに制限を設けたいのですが。グラフがこのセットのメンバーであるかどうかを確認することはNP困難であることが知られています。これは、P NPを想定して、カーディナリティの下限につながりますか？ $N$ $\neq$

たとえば、個の頂点を持つすべてのグラフに順序があるとします。NP硬度は、カーディナリティがを超えていることを意味します。それ以外の場合は、セットをバイナリ検索して多項式時間のメンバーシップをテストできますか？これは、なんとかしてセットをメモリに格納したことを前提としています...これは許可されますか？ $N$ $2^N$

定義：グラフは、各頂点を平面内の単位ディスクに関連付けることができ、頂点がそれらのディスクが交差するたびに接続される場合、単位ディスクグラフです。

以下は、ユニットディスクグラフのメンバーシップテストのNP硬度に関するリファレンスです。http： //disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— デビッド・チョイ
ソース

この方法がいくつかのセットのサイズの最もよく知られている下限を提供する例はありますか？それは複雑性理論のクールな間接的な組み合わせのアプリケーションでしょう。

— Sasho Nikolov

親切なお力添えありがとうございます。どちらの回答も役に立ち、洞察に満ちていました。どちらかがなければ、どちらかを受け入れたでしょう。

— David Choi

回答:

テクニックと回答のどちらでこの質問をしているのかはわかりませんが、McDiarmidとMuellerによる最近の論文で、頂点の（ラベル付き）単位円グラフの数がであることが示されています ; http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdfを参照してください。 $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— バート・ヤンセン
ソース

マハニーの定理は、疎なNP完全集合がP = NPの場合に存在すると述べています。したがって、仮定すると、無限に多くの、完全なセットのサイズのインスタンスの数に超多項式の下限が含まれます。つまり、場合、任意の完全なセットにはが必要であり、無限多整数場合、セットには少なくともが含まれます長さ文字列。 $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

H.バーマンとJMヒッチコックは、多項式階層が崩れない限り、下限（）が厳しいことを証明しました。 $2^{n^{\epsilon}}$

[1] H.バーマンとJMヒッチコック、NP-ハードセットはcoNP⊆NP / polyでない限り指数関数的に密である、計算の複雑さに関するIEEE会議、ページ1–7、2008

[2]エリックアレンダー、P対NPの質問に関するステータスレポート、コンピュータの進歩、第77巻、2009年、ページ117-147

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース

[Mah82] SRマハニー。NPのスパースコンプリートセット：BermanとHartmanisによる推測の解決、ジャーナルオブコンピューターおよびシステムサイエンス25：130-143、1982

— Marzio De Biasi

各NPコンプリートセットのカーディナリティは無限にあります。おそらく、P≠NPは、サイズのインスタンス数の超多項式の下限を、無限に多くの暗示することを意味します。は、指定した形式ではない超多項式であることにも注意してください。

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

— アンドラス・サラモン

Andrásに感謝します。あなたのコメントは回答に組み込まれます。

— Mohammad Al-Turkistany

@Mohammad：下限をまたは：これが超多項式の意味です。

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

— Sasho Nikolov

@ Sasho、H。Buhrman、JM Hitchcockは、多項式の階層が崩れない限り、私の回答で述べた下限（）を証明しました。H.バーマンとJMヒッチコック、NP-ハードセットはcoNP Unless NP / polyでない限り指数関数的に密である、計算の複雑性に関するIEEE会議、ページ1–7、2008

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$

— Mohammad Al-Turkistany