最小カットを最大化するための容量の増加

すべてのエッジが単位容量を持つグラフを考えます。多項式時間で最小カットを見つけることができます。

エッジの容量を無限に増やすことが許可されているとします（エッジの両側のノードをマージするのと同じです）。最小カットを最大化するためにkエッジの最適なセット（容量は無限に増加します）を選択する最適な方法は何ですか？$k$$k$

定理。 投稿の問題はNP困難です。

「ポストの問題」とは、グラフと整数kが与えられた場合、変更されたグラフの最小カットを最大化するようにkエッジを選択して容量を上げることを意味します。$G=(V,E)$$k$$k$

アイデアは、Max Cutから減らすことです。大まかに言って、与えられたグラフは、結果のグラフが最小カットサイズsになるようにn − 2エッジの容量を増やすことができる場合に限り、最大カットサイズsを持ちます。考えられるのは、n − 2のエッジは、結果のグラフに1つの有限容量カットのみを強制するのに十分であり、それは選択した任意のカットにすることができます。$G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

与えられたカットを得るには、CとV ∖ Cによってそれぞれ誘導されるサブグラフを接続する必要があるため、このアイデアはうまくいきません。しかし、適切なガジェットでこれを回避できます。$(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

証明。 連結グラフ所与、定義接続切断が切断される（C 、V ∖ C ）によって誘導されるサブグラフようなCによってV ∖ Cがそれぞれ接続されています。最大の接続されたカットを定義して、（指定された接続されたグラフで）接続されたカットを見つけて、カットと交差するエッジの数を最大化する問題にします。$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Max Connected Cutが投稿の問題を軽減することを示します。次に、加重されていないMax CutがMax Connected Cutに減少することを示します。

補題1. Max Connected Cutは、投稿で定義された問題へのポリ時間を短縮します。

証明。 Max-Connected-Cutインスタンスをとすると、k = | V | − 2。補題を証明するために、以下を証明します。$G=(V,E)$$k=|V|-2$

請求項1： いずれかのために、接続の切断がある（C 、V ∖ C ）におけるG少なくとも容量のSは、IFFが上昇することが可能であるk個のエッジ容量G得られたグラフは分カットを有するように無限に容量s以上。$s>0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

$(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

$k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$$s$

これは主張（および補題）を証明します。（QED）

完全を期すため、加重されていないMax Cutからの削減により、Max Connected CutがNP完全であることを示します。

補題2. 重み付けされていない最大カットは、ポリ時間で最大接続カットに減少します。

$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

$s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

$(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

$G'$$s+N^2+n$$A$$B$$P(N)$$N^2-N/100$$P(N)$$N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$$C$$V$$A$$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$$s$$C$$V\setminus C$

これは主張と補題2を証明します（QED）

補題1と2では、加重されていないMax CutはNP困難であるため、投稿の問題もNP困難です。