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次の問題に名前があるのか​​、それに関連する結果があるのか​​と思います。 LETここで加重グラフであるの間の辺の重み表し及び、そしてすべてのための、。問題は、隣接するエッジの重みの合計を最大化する頂点のサブセットを見つけることです： サブセットの内側とサブセットの外側の両方のエッジをカウントしていることに注意してください。これがこの問題をmax-cutと区別するものです。ただし、uとvの両方がSにある場合でも、エッジ（u、v）のみをカウントしますG=(V,w)G=(V,w)G = (V,w)w(u,v)w(u,v)w(u,v)uuuvvvu,v∈Vu,v∈Vu,v \in Vw(u,v)∈[−1,1]w(u,v)∈[−1,1]w(u,v) \in [-1,1]maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)uuuvvvSSS(u,v)(u,v)(u,v) 1回（2回ではなく）。これは、目的を単に学位の合計であると区別するものです。 すべてのエッジの重みが負でない場合、問題は些細なものであることに注意してください-単にグラフ全体を取ってください！

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星形グラフだけで構成されるグラフあります。星形グラフは、その中の他のすべてのノードへのエッジを持つ1つの中央ノードで構成されます。ましょう中に存在する異なるサイズの異なるスターグラフも。スターグラフ中心であるすべてのノードのセットを呼び出します。H 1、H 2、… 、H n G RGGGH1、H2、… 、HんH1,H2,…,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGGRRR ここで、これらのスターグラフが他のスターグラフのエッジを構築し、ノード間にエッジが発生しないと仮定します。次に、どのように多くのエッジが内のノード間で最大に存在としていないノードグラフが平面のままでなければならない場合、？R RRRRRRRRRR このようなエッジの数の上限が必要です。私が念頭に置いている1つの上限は、が頂点の1つのセットであり、残りの頂点が別のセット形成する2つの部分からなる平面グラフと見なすことです。これらのセット（と）間のエッジに関心があります。これは平面の2つの部分からなるため、そのようなエッジの数はのノード数の2倍に制限されます。A R A GRRRあAARRRあAAGGG 私が感じるのは、より良い境界があるということです。おそらくのノードの2倍とのノードの数です。RあAARRR 私の直感を反証できる場合は、それも良いでしょう。うまくいけば、あなたの何人かは、いくつかの関連する議論とともに良い限界を思い付くことができます。

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ファリーの定理によれば、単純な平面グラフは交差せずに描画できるため、各エッジは直線セグメントになります。 私の質問は、有界交差数のグラフに類似の定理があるかどうかです。具体的には、交差数kの単純なグラフを描画して、図面にk個の交差が存在し、各エッジがいくつかの関数fに対して最大でf（k）の次数の曲線になるようにできると言えますか？ 編集：デビッド・エップスタインが述べているように、ファリーの定理は交差数kのグラフの描画を意味するため、各エッジは最大でkのベンドを持つポリゴンチェーンになります。各エッジを有界次数曲線で描画できるかどうかはまだ知りたいです。Hsien-Chih Changは、kが0、1、2、3の場合はf（k）= 1、それ以外の場合はf（k）> 1であると指摘しています。

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最初にmath.SEに応答なしで尋ねました。 平面埋め込みを備えた平面グラフがあると仮定すると、ツリー分解をどのように見つけますか？ 行d列の正方グリッドの最適なツリー分解は何ですか？「最適」の定義方法は完全にはわかりませんが、1つの大きなバッグによる分解と多数の大きなバッグによる分解を区別する必要があります。dddddd

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グラフとパラメーターが与えられたとします。そこの値の範囲は、（またはそれがすべてのためになんとかである）はかどうかをテストすることが可能であるためである少なくとも大きさの独立したセットを有するから-far時間における？k 、ϵ k k G ϵ k O （n + poly （1 / ϵ ））GGGk 、ϵk,ϵk,\epsilonkkkkkkGGGεϵ\epsilonkkkO （n + ポリ（1 / ϵ ））O(n+poly(1/ϵ))O(n + \text{poly}(1/\epsilon)) -farの通常の概念を使用する場合（つまり、そのようなセットを取得するには、最大でエッジを変更する必要があります）、問題は。そうε 、N 2、K = O （N √εϵ\epsilonϵ n2ϵn2\epsilon n^2k = O （n ϵ√）k=O(nϵ)k = O(n\sqrt{\epsilon}) が大きければ、いくつかのサンプリングのアイデアが問題を解決するために機能するはずです。本当 ？kkk -farの他の概念（つまり、代わりにエッジ）がありますか？ϵ | E |εϵ\epsilonϵ | E|ϵ|E|\epsilon |E| この時点で基本的に参考文献を探しています。

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古典的な問題： 数が与えられたとします。以下のように-clique問題があります。kkkkkkk グラフ所与、サブセットが存在しないのの任意の2つの頂点のように頂点を隣接していますか？S k SGGGSSSkkkSSS ハイパーグラフの問題： 番号とが与えられたとします。以下のように-hyperclique問題があります。k （c 、k ）ccckkk(c,k)（c、k）(c,k) 所与 -uniformハイパーグラフ、セットが存在するのの任意のサブセットように頂点をから頂点 hyperedgeを形成します。H S k c ScccHHHSSSkkkcccSSS 質問： （1） -hyperclique を解くための最もよく知られたアルゴリズムは何ですか？(c,k)（c、k）(c,k) （2）その時間の複雑さはどれくらいですか？ （3） -hypercliqueと行列乗算の間には何らかの関係がありますか？(c,k)（c、k）(c,k) 私が知っているすべての人にとって、これはよく研究された問題かもしれません。この問題を調査する参考文献は大歓迎です。

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我々はグラフかどうかを決定するために時間アルゴリズム正確に長さの周期を有する。同じアルゴリズムまたは他のアルゴリズムを使用して、そのようなサイクルがいくつあるかをどのように見つけることができますか。 G k k Gf（k ）n３f（k）ん３f(k) n^3GGGkkkkkkGGG

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私は最小支配集合問題の近似アルゴリズムに取り組んでいます。特に、禁止された誘導サブグラフによって制限されるグラフクラスに興味があります。支配問題とその変種は広範囲にわたって研究されているので、誰かが以前にこれに取り組んだ可能性があります。したがって、問題は次のとおりです。 誰かが禁止された誘導サブグラフによって定義されたグラフクラスの支配問題の近似アルゴリズムが研究されている論文を知っていますか？ 前もって感謝します。敬具。

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以前に同様の質問が出されましたが、エラーがあったため、簡単な半音階番号の付いた未回答のGraphクラスでしたが、NPハードカラーリングでした。 グラフの任意の無限集合があるなどは：CCC すべてのグラフについて、GがCに属しているかどうかを認識する多項式アルゴリズムがありますGGGGGGCCC 波長数演算多項式時間アルゴリズムが存在するすべてのためのG ∈ Cはχ(g)χ(g)\chi(g)g∈Cg∈Cg \in C 人類は適切なカラーリングを計算するための多項式時間アルゴリズムを知らない、または（より良い）そのようなアルゴリズムが（妥当な仮定の下で）存在しないという証拠があります。CCC

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次の問題に興味があります。 オイラーグラフが与えられた場合、そのエッジの分割（および）を、各よう単純なサイクルを形成及び最大可能です。C 1、C 2、... 、C K ∪ I C I = E I ≠ J ↔ C I ∩ C J = ∅ C I G KG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)C1、C2、… 、CkC1、C2、…、CkC_1, C_2, \ldots, C_k∪私C私= E∪私C私=E\cup_i C_i=E私≠ jの↔ C私∩ Cj= ∅私≠j↔C私∩Cj=∅i \neq j \leftrightarrow C_i \cap C_j = \varnothingC私C私C_iGGGkkk つまり、オイラーグラフのすべてのエッジを、最大数のエッジの素な単純サイクルでカバーすることになります。 この問題はよく知られていますか？それを解決する既知のアプローチはありますか？

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G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E) iV(G)=min{|N(S)||S|:S⊆V,1≤|S|≤|V|2}iV(G)=min{|N(S)||S|:S⊆V,1≤|S|≤|V|2}i_V(G) = \min\{\frac{|N(S)|}{|S|} : S \subseteq V, 1\le |S|\le \frac{|V|}{2}\} 次の問題がNP完全であると示されている参照を与えることができます：グラフと数値与えられた場合、問題はに最大頂点等周数があるかどうかを決定することですか？GGGtttGGGttt

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で、この論文、Hajnalは次の補題を述べています： LET 持つすべての二部グラフの組であるN個の左部分との頂点M右側の頂点。仮定P ⊆ Gは、N 、Mは、非自明な単調、および二部グラフ同型に対して不変です。左頂点の次数の並べ替えられたリストに従って、プロパティPの最小グラフのセットを辞書順に並べ替え、Gをこの順序に従ってプロパティPの最初の最小グラフとします。ゼロ誤差は、クエリ複雑無作為PがあるΩ （Δ LGn,mGn,m\mathscr{G}_{n, m}nnnmmmP⊆Gn,mP⊆Gn,m\mathscr{P} \subseteq \mathscr{G}_{n, m}PP\mathscr{P}GGGPP\mathscr{P}PP\mathscr{P}、ΔL（Gは）の左側の任意の頂点の最大次数であるG及びδL（Gは）の左側の頂点の平均程度であるG。Ω(ΔL(G)δL(G)n)Ω(ΔL(G)δL(G)n)\Omega(\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} n)ΔL(G)ΔL(G)\Delta_L(G)GGGδL(G)δL(G)\delta_L(G)GGG （実際には、Hajnalは実際に上記の補題のわずかな拡張を使用する。）同じ補題もでGrögerで使用され、この他の論文及びChakrabartiとKhotにより、この他の紙。しかし、私はハイナルの補題の証拠を理解することができません。ハイジャナルは補題を八尾に帰し、この論文を引用している。しかし、八尾の論文は、その補題をその形で実際に主張していません。 八尾の論文は密接に関連した補題を証明しています。（八尾の論文では補題5、または同等補題6 八尾の紙のこの雑誌版。）八尾の論文に補題の証明を適応させることによって、私はHajnalの補題を証明する方法を見て、余分な仮定の下でその。私がある場合に問題抱えているδ L（Gが） subconstantです。δL(G)≥Ω(1)δL(G)≥Ω(1)\delta_L(G) \geq \Omega(1)δL(G)δL(G)\delta_L(G) λ(n)λ(n)\lambda(n)δL(G)δL(G)\delta_L(G)μ(n)μ(n)\mu(n)ΔL(G)ΔL(G)\Delta_L(G)ΔL(G)−4δL(G)⌈4δL(G)⌉⋅n2ΔL(G)−4δL(G)⌈4δL(G)⌉⋅n2\frac{\Delta_L(G) - 4\delta_L(G)}{\lceil 4 \delta_L(G) \rceil} \cdot \frac{n}{2} δL(G)δL(G)\delta_L(G)O(ΔL(G)n)O(ΔL(G)n)O(\Delta_L(G) n)ΔL(G)δL(G)nΔL(G)δL(G)n\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} nT′iTi′T_i' 証明にパッチを適用するにはどうすればよいですか？

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加重されていない二部グラフ与えられます。それは常に空でないマッチングが存在することは事実であるM ⊆ E（必ずしも最大）、その結果、すべてのための（I 、J ）∈ Eと私はマッチとjの比類のない、それが保持している度（I ）> 度（J ）？ここで（i 、j ）は順序付けされていません。つまり、iはどちらの側でもかまいません。G = （V、E）G=(V,E)G=(V, E)M⊆ EM⊆EM\subseteq E（I 、J ）∈ E(i,j)∈E(i,j)\in E私iijjj度（ i ）> 度（j ）deg⁡(i)>deg⁡(j)\deg(i)>\deg(j)（私、j ）(i,j)(i,j)私ii これが真実である理由についての私の直感は、すべての頂点が同じ次数である場合、必要なマッチングである完全なマッチングが常に存在することです。木や単環式グラフのようないくつかの単純なグラフ構造では、葉の次数は常にその親よりも小さいため、最大のマッチングが望まれます。VVV ホールの定理から証明しようとしたが失敗した。この問題の複雑さの一部は、ソリューションが常に最大のマッチングであるとは限らないことです。たとえば、2つの4サイクルとd e f gで構成されるグラフを考えます。次に、M = { a b 、c d }とその対称マッチングが唯一の解であり、最大ではありません。a b c dabcdabcdde fgdefgdefgM= { a b、c d}M={ab,cd}M=\{ab,cd\}

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対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。 有向グラフことが知られている隣接行列有するA （G ）、その固有値バイナリである{ 0 、1 }あればGは、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点v 1、の列挙が修正されます。。、v nであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、0 / 1のエントリを持つ上三角行列になります。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)A(G)A(G)A(G){0,1}{0,1}\{0,1\}GGGv1,..,vnv1,..,vnv_1,.., v_n0/10/10/1 しかし、GGGがもう一方の端である場合、つまりGGGがnnn個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。 一般に、特性多項式をA(G)A(G)A(G)計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、A(G)A(G)A(G)である{0,1}{0,1}\{0,1\}マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。 ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。 ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。 ： Gを n個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値 A Gは実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値 λように iがm個（λ ）≥ 1 / P O LのY （N ）。Conjecture: Dichotomy of eigenvaluesConjecture: Dichotomy of eigenvalues\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}GGGnnnAGAGA_Gλλ\lambdaim(λ)≥1/poly(n)im(λ)≥1/poly(n)im(\lambda)\geq 1/poly(n) そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか？あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？

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無向グラフGが与えられた場合、k個のエッジ（または頂点）を削除すると2部になる場合、Gはほとんど2部であると言えます。 グラフが正確に、またはほぼほぼ2部構成であるかどうかを判断するポリタイムアルゴリズムはありますか？

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