平面グラフのツリー分解

最初にmath.SEに応答なしで尋ねました。

1. 平面埋め込みを備えた平面グラフがあると仮定すると、ツリー分解をどのように見つけますか？
2. 行d列の正方グリッドの最適なツリー分解は何ですか？「最適」の定義方法は完全にはわかりませんが、1つの大きなバッグによる分解と多数の大きなバッグによる分解を区別する必要があります。$d$$d$

あなたが本当に望んでいるのが優れた除去順序である場合、一般化されたネストされた解剖を探しているかもしれません。これは、良好な分離を利用する戦略である平面グラフに与える平面のグラフから来る行列の等ガウス消去、行列式、のためのアルゴリズム。$O(n^{\omega/2})$

最初の質問のために、オープン、平面グラフの木分解を見つける多項式時間で行うことができるかどうか。最良の近似アルゴリズムは、平面グラフの分岐幅を計算するSeymourとThomasによるRatCatcherアルゴリズムである可能性があるため、分岐幅とツリー幅の関係によって1.5の近似比を持ちます。

$k \times k$

$k \times k$$k$

$k+1$$k(k-1)$

最適なツリー分解が必要ない場合は、セパレーターを再帰的に計算してツリー分解を構築できます。