独立セットのプロパティテスト

9

グラフとパラメーターが与えられたとします。そこの値の範囲は、（またはそれがすべてのためになんとかである）はかどうかをテストすることが可能であるためである少なくとも大きさの独立したセットを有するから-far時間における？ $G$ $k,\epsilon$ $k$ $k$ $G$ $\epsilon$ $k$ $O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

-farの通常の概念を使用する場合（つまり、そのようなセットを取得するには、最大でエッジを変更する必要があります）、問題は。そう $\epsilon$ $\epsilon n^2$ $k = O(n\sqrt{\epsilon})$

が大きければ、いくつかのサンプリングのアイデアが問題を解決するために機能するはずです。本当？ $k$
-farの他の概念（つまり、代わりにエッジ）がありますか？ $\epsilon$ $\epsilon |E|$

この時点で基本的に参考文献を探しています。

— Suresh Venkat
ソース

10

この問題は確かに研究されています。Goldreich、Goldwasser、Ronは、グラフの特性テストを開始した独創的な論文でそれを研究し、その後、Feige、Langberg、およびSchechtmanも、彼らのFOCS '02論文「小さなベクトルの色数と巨大な色数のグラフ」で結果を出しました。。

具体的には、[FLS '02]は、独立したサイズのセットを持つグラフを、グラフ -farから区別できることを示しています（つまり、少なくともエッジを削除して、独立したセット）によって誘発されたランダムなサブグラフを選択し、ランダムなサブグラフがサイズの独立したセットまたはない。（[GGR '98]は弱いが上に結合を示したの。）[FLS '02]、下部に結合された表示の。 $\rho n$ $\epsilon$ $\epsilon n^2$ $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ $\rho s$ $s$ $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$ $s$ $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

— アルナブ
ソース

6

独立したセットに近いのもう1つの自然な定義は、エッジを変更することです。残念なことに、この定義では、プロパティテストは多項式の時間で解決できないようです。その理由は、時間よりも速く個の頂点のランダムグラフで頂点の植え付けられたクリーク（および同様に独立したセット）を見つける方法を誰も知らないためです。平均よりも少し密度が高いサブグラフを使用して、多項式時間で植え付けられたクリークを見つけることができることを示すことができます。これは、と間のに対するこの問題のバリアントの多項式時間アルゴリズムがあることに対する証拠です。 $\epsilon$ $\epsilon k^2$ $o(\sqrt{n})$ $n$ $n^{O(\log n)}$ $k$ $\log n$ $\sqrt{n}$

参照：FeigeおよびKrauthgamer。1999年のセミランダムグラフで大きな隠れたクリークを見つけて認証する。

— ウォーレンシュディ
ソース