学位支配を伴う二部マッチング

加重されていない二部グラフ与えられます。それは常に空でないマッチングが存在することは事実であるM ⊆ E（必ずしも最大）、その結果、すべてのための（I 、J ）∈ Eと私はマッチとjの比類のない、それが保持している度（I ）> 度（J ）？ここで（i 、j ）は順序付けされていません。つまり、iはどちらの側でもかまいません。$G=(V, E)$$M\subseteq E$$(i,j)\in E$$i$$j$$\deg(i)>\deg(j)$$(i,j)$$i$

これが真実である理由についての私の直感は、すべての頂点が同じ次数である場合、必要なマッチングである完全なマッチングが常に存在することです。木や単環式グラフのようないくつかの単純なグラフ構造では、葉の次数は常にその親よりも小さいため、最大のマッチングが望まれます。$V$

ホールの定理から証明しようとしたが失敗した。この問題の複雑さの一部は、ソリューションが常に最大のマッチングであるとは限らないことです。たとえば、2つの4サイクルとd e f gで構成されるグラフを考えます。次に、M = { a b 、c d }とその対称マッチングが唯一の解であり、最大ではありません。$abcd$$defg$$M=\{ab,cd\}$

2部グラフでは、プロパティとの一致が常に存在するとは限りません。

たとえば、グラフ考えます。$G = (V, E)$

• および$V = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$
• $E = \{a_1, a_2\} \times \{c_1, c_2, x\} \cup \{b_1, b_2\} \times \{d_1, d_2, x\} \cup \{(a_3, c_1), (a_3, d_2), (a_3, x), (b_3, d_1), (b_3, c_2), (b_3, x)\}$

このグラフは2部構成です（を1つの部分として、V 2 = { c 1、c 2、d 1、d 2、x }他として）。このグラフのxを除くすべての頂点の次数は3です。頂点xの次数は6です。$V_1 = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3\}$$V_2 = \{c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$$x$$3$$x$$6$

矛盾を避けるために、プロパティと一致するが存在するとします。同じ次数を持つ2つの隣接する頂点v 1とv 2を考えます。Mの条件は、これらの頂点の両方が同じmatched-or-notステータスを持っていることを意味します（つまり、両方の頂点またはどちらの頂点もMで一致する必要はありません）。これは、矛盾によって非常に簡単に証明できます。一方の頂点（wlog v 1）は一致し、もう一方の頂点は一致しないとします。次に、それらの間にエッジがあるため、Mの指定されたプロパティは、d e g （v 1$M$$v_1$$v_2$$M$$M$$v_1$$M$、これは矛盾です。$deg(v_1) > deg(v_2)$

したがって、同じ次数の隣接する頂点の一致または非一致ステータスは同じです。次に、頂点のセットにすべての頂点が同じ次数であるというプロパティがあり、これらの頂点によって誘導されるサブグラフが接続されている場合、このルールを複数回適用して、セット内のすべての頂点が同じ一致または非一致でなければならないことを結論付けることができます状態。特に、では、V ∖ { x }のすべての頂点の次の3つの値が3であり、接続されているため、それらの頂点の一致または非一致のステータスは同じでなければなりません。換言すれば、内のすべての頂点のいずれかのV ∖ { xが}に一致しているM、またはそのような頂点はで一致していない$G$$V \setminus \{x\}$$3$$V \setminus\{x\}$$M$$M$。これらの頂点の不一致ステータスが「一致」している場合、バイパーティションの部分のすべての頂点がMで一致します。V 1には他の部分V 2よりも多くの頂点があるため、これは不可能です。これらの頂点の不一致のステータスが「不一致」の場合、Mで一致できるGの唯一の頂点はxです。空でないマッチング（Mはそうでなければならない）は少なくとも2つの頂点と一致するため、このケースも不可能であることがわかります。$V_1$$M$$V_1$$V_2$$G$$M$$x$$M$

矛盾して、問題のプロパティと一致するはGに存在しません。$M$$G$