合計エッジの重みを最大化する

次の問題に名前があるのか、それに関連する結果があるのかと思います。

LETここで加重グラフであるの間の辺の重み表し及び、そしてすべてのための、。問題は、隣接するエッジの重みの合計を最大化する頂点のサブセットを見つけることです：サブセットの内側とサブセットの外側の両方のエッジをカウントしていることに注意してください。これがこの問題をmax-cutと区別するものです。ただし、と両方がにある場合でも、エッジのみをカウントします $G = (V,w)$ $w(u,v)$ $u$ $v$ $u,v \in V$ $w(u,v) \in [-1,1]$

max_{S \subseteq V} \sum_{(u, v) : u \in S or v \in S} w (u, v)

$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$

u

$u$

v

$v$

S

$S$

(u, v)

$(u,v)$ 1回（2回ではなく）。これは、目的を単に学位の合計であると区別するものです。

すべてのエッジの重みが負でない場合、問題は些細なものであることに注意してください-単にグラフ全体を取ってください！

— アーロン・ロス
ソース

重複したエッジをカウントしないことについてのあなたの定義は後であなたのメモと一致しません。順序付けられたペアまたは2要素のサブセットを合計していますか？（後者はあなたにあなたが必要とする特性を与えると思います）

— Suresh Venkat '28

別の注意：カウントされないエッジの重みはV \ S内のものだけです。前者の場合、S '= V \ S内のエッジ重みの合計を最小化することがより自然な問題である可能性があるため、硬度結果または近似に関心がありますか？。

— Suresh Venkat

@Suresh：問題の正式な定義は、近似比に関する限り正しいものです。それはちょうど言葉から期待されるもののちょうど2倍を与えるだけです。

— 伊藤剛

@TsuyoshiIto：なるほど、カット全体のエッジも2回カウントされるためです。

— Suresh Venkat

Sureshが彼のコメントで書いたように、問題はNP-hardである無制限の{0,1}二次計画法と同等であるため、正確な問題はNP-hardです。

— 伊藤剛

回答:

実際の解決策ではなく、いくつかの観察結果。

これは、次の問題の特殊なケースです：ユニバース、セットコレクション、および重み関数、が最大化されるようなセット見つけます（セットの重みは要素の総重みです）。あなたの問題は、各要素が正確に2つのセットで現れる場合に対応します（しかし、この制限を活用する方法はわかりませんが、役立つかもしれません）。 $U = \{1, \ldots, m\}$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq U$ $w:U \rightarrow [-1, 1]$ $I \subseteq [n]$ $w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$ $U$

これはカバレッジの問題です。Max-k-Set-Coverに似ていますが、セットを使用する制限がなく、負の重みが許可されています。（各ステップの出力これまで覆われていない要素の最大量を有するセットで）MAX-K-セットカバーの貪欲近似セットのシーケンスを出力するよう第一ことセットは、近似最適（したがって、これはすべての同時近似です）。残念ながら、いつものように、重みが負になる可能性がある場合の分析には問題があります。貪欲アルゴリズムの分析の基本的な観察は、が出力される最初のセットである場合、（ $k$ $k$ $1 + 1/e$ $k$ $S_1$ $w(S_1) \geq OPT_k/k$ $OPT_k$ 覆わ最大重量であるため、）セット以下の重みの合計よりも最適解に設定し、それらの各未満の重量を有している。ただし、負の重みでは、が最適解の重みの合計よりも小さいというのはもはや真実ではありません。一般に、ユニオンの境界はもはや真ではありません。 $k$ $OPT_k$ $k$ $w(S_1)$ $OPT_k$

— サショニコロフ
ソース

FWIW、あなたの問題は、任意の乗法因子内で近似することは困難です。 $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

以下では、近似の硬度が既知である独立セットからの近似を維持する縮約を与えることにより、そのことを示します。

独立セットからの削減

無向グラフを独立セットのインスタンスとします。ましょう頂点の意味度で。ましょの頂点の数である。 $G=(V,E)$ $d_v$ $v$ $G$ $n$ $G$

次のように、からエッジ加重グラフを作成します。各エッジを与える各非絶縁頂点の重み1、追加新エッジ量を有する各、へ新しい頂点を。孤立した頂点ごとに、重み1の新しいエッジを1つ、新しい頂点に追加します。 $G'=(V',E')$ $G$ $E$ $v\in V$ $d_v-1$ $-1$ $d_v-1$ $v\in V$

（注：（ではなく）新しい各頂点には、にある隣接点が1つだけあります。 $G'$ $G$ $G$

補題。 サイズとは無関係に設定されている IFF （問題のインスタンスとして）を少なくとも値の溶液有する。 $G$ $k$ $G'$ $k$

証明。 してみましょうのいずれかの独立したセットで。頂点以来続いて、で独立しているの値で（あなたの目的で）で $S$ $G$ $S$ $G'$ $S$ $G'$

\sum_{v \in S} d_{v} - (d_{v} - 1) = | S | .

$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$

逆に、を少なくともの値のの解とする。一般性を失うことなく、に新しい頂点がないと仮定します。（新しい各頂点、単一のエッジである場合。で単離されなかった、その後、エッジの重みは、そう除去からの値増加。場合そう除去し、エッジの重みが1である、単離されたから加算の値に維持）。 $S$ $G'$ $k$ $S$ $v'$ $(v',v)$ $v$ $G$ $-1$ $v'$ $S$ $S$ $v$ $v'$ $S$ $v$ $S$

一般性を失うことなく、が独立セットであると仮定します。（そうでなければ、聞かせなるようにエッジである及びであるの総重量。 '内の入射端あるの総重量に、入射以外のエッジゼロ以下である。したがって、除去から値増加ない）。 $S$ $G$ $(u,v)$ $u$ $v$ $S$ $v$ $G'$ $d_v - (d_v-1) = 1$ $v$ $(u,v)$ $v$ $S$ $S$

ここで、証明の開始時と同じ計算により、の値は。その結果、。QED $S$ $|S|$ $|S| \ge k$

余談ですが、代わりに、たとえばまたは加法近似を求めることもできます。 $O(n)$ $\epsilon m$

あなたの問題にとって、正の値の解があるかどうかを決定することさえ、NP困難である可能性があるように私には思えます。

— ニール・ヤング
ソース