有界交差数のグラフを描く

ファリーの定理によれば、単純な平面グラフは交差せずに描画できるため、各エッジは直線セグメントになります。

私の質問は、有界交差数のグラフに類似の定理があるかどうかです。具体的には、交差数kの単純なグラフを描画して、図面にk個の交差が存在し、各エッジがいくつかの関数fに対して最大でf（k）の次数の曲線になるようにできると言えますか？

編集：デビッド・エップスタインが述べているように、ファリーの定理は交差数kのグラフの描画を意味するため、各エッジは最大でkのベンドを持つポリゴンチェーンになります。各エッジを有界次数曲線で描画できるかどうかはまだ知りたいです。Hsien-Chih Changは、kが0、1、2、3の場合はf（k）= 1、それ以外の場合はf（k）> 1であると指摘しています。

グラフに制限された交差数がある場合、ポリラインモデルのその数の交差でグラフを描画できます（つまり、各エッジは多角形チェーンであり、グラフ描画の文献では、制限された次数の代数曲線よりも一般的です）。エッジごと。また、エッジごとに制限された数の交差がある場合にも、より一般的に当てはまります。これを確認するには、グラフを平面化し（各交差を頂点で置き換える）、Fáryを適用します。

これを使用して実際の質問に答えるには、ポリラインベンドの数の関数によって次数が制限される、特定のポリラインに任意に近い代数曲線を見つける必要があります。これもかなり簡単に行えます。例えば：各セグメントのためポリラインの、聞かせ非常に近い高偏心楕円こと、およびlet正の外部にある次多項式であると負内部の。全体的な多項式をの形式にします。ここで、は小さな正の実数です。次に、曲線の1つのコンポーネントe i s i p i e i e i p = ϵ − ∏ i p i ϵ p = $s_i$$e_i$$s_i$$p_i$$e_i$$e_i$$p=\epsilon-\prod_i p_i$$\epsilon$$p=0$楕円の和集合の少し外側にあり、ポリラインの代わりに使用できます。その次数は楕円の数の2倍になります。これは、エッジごとの交差の数に比例します。

$\overline{\mathsf{cr}}(G)$$G$$\mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(G) \leq k$$k$

直線交差数の境界の論文で、ビエンストックとディーンは、

$k \leq 3$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$k \geq 4$$G_n$$\mathsf{cr}(G) = 4$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$

$\mathsf{cr}(G) \leq 3$

$\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(K_8) = 18$$\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$