グラフで長さのサイクル数を見つける

我々はグラフかどうかを決定するために時間アルゴリズム正確に長さの周期を有する。同じアルゴリズムまたは他のアルゴリズムを使用して、そのようなサイクルがいくつあるかをどのように見つけることができますか。 G k k $f(k) n^3$$G$$k$$k$$G$

場合入力の一部である場合、決定の問題は、、長さの単純サイクル含ま NP完全です。すべての固定について、問題は時間または時間のいずれかで解決できます。Flumとグローエ[1]は、そのカウント周期と長さの経路を示したによりパラメータの両方の有向および無向グラフで、、#W [1] -completeあります。G K K O （V E ）O （V ωログV ）K $k$$G$$k$$k$$O(VE)$$O(V^\omega \log V)$$k$$k$

以下のために、一方は数えることができるで-cyclesを時間、行列乗算の指数です。これは、アロン、ユスター、ズウィックの結果です[2]。この論文には、、正確にの長さの単純なサイクルを見つける方法も含まれています。K O （Vのω）ω < 2.376 K K ≥ $3 \leq k \leq 7$$k$$O(V^\omega)$$\omega < 2.376$$k$$k \geq 3$

[1] Flum、Jörg、およびMartin Grohe。「問題を数えるパラメータ化された複雑さ。」SIAM Journal on Computing 33.4（2004）：892-922。

[2] アロン、ノガ、ラファエルユスター、ウリズウィック。「与えられた長さのサイクルを見つけて数える。」Algorithmica 17.3（1997）：209-223。

Juhoが指摘したように、問題はFlumとGroheの研究により#W [1]完全であることがわかっています。ただし、FPT時間で実行され、正しい解から高い確率で係数である推定値を返すランダム化された近似スキームが存在します。ISAAC 2002のArvindとRamanによる「いくつかのパラメータ化されたカウント問題の近似アルゴリズム」を参照してください。$(1+\epsilon)$

いずれかのためにかなり単純あるF （K ）N ⌈ K / 2 ⌉ + 3によって時間アルゴリズムVassilevskaウィリアムズウィリアムズ。AFAIKとして知られている漸近的に高速な正確なアルゴリズムは、 Björklund 、Kaski、およびKowalikです。$k$$f(k)n^{\lceil k/2 \rceil+3}$