グラフが平面になるようにスターグラフ間のエッジの数を制限する

星形グラフだけで構成されるグラフあります。星形グラフは、その中の他のすべてのノードへのエッジを持つ1つの中央ノードで構成されます。ましょう中に存在する異なるサイズの異なるスターグラフも。スターグラフ中心であるすべてのノードのセットを呼び出します。H 1、H 2、… 、H n G $G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

ここで、これらのスターグラフが他のスターグラフのエッジを構築し、ノード間にエッジが発生しないと仮定します。次に、どのように多くのエッジが内のノード間で最大に存在としていないノードグラフが平面のままでなければならない場合、？R $R$$R$$R$

このようなエッジの数の上限が必要です。私が念頭に置いている1つの上限は、が頂点の1つのセットであり、残りの頂点が別のセット形成する2つの部分からなる平面グラフと見なすことです。これらのセット（と）間のエッジに関心があります。これは平面の2つの部分からなるため、そのようなエッジの数はのノード数の2倍に制限されます。A R A $R$$A$$R$$A$$G$

私が感じるのは、より良い境界があるということです。おそらくのノードの2倍とのノードの数です。$A$$R$

私の直感を反証できる場合は、それも良いでしょう。うまくいけば、あなたの何人かは、いくつかの関連する議論とともに良い限界を思い付くことができます。

あなたのステートメントは少しあいまいです：最初に「... のノード間にエッジが発生しないように」と書きますが、次の段落はAの頂点間にもエッジがないことを意味します。また、星は互いに素であり、すべてのエッジ（最初に星に存在していたものを含む）を数えると仮定します。のもあり、少なくとも2つの星があり、それらの少なくとも一方が、度があると仮定しましょう≥ 2を。$R$$A$$\ge 2$

その場合、境界を超えることはできません（N =すべての頂点の数）。少し異なるシナリオを考えてみます。N個の頂点のセットから始めて、いくつかの赤、いくつかの黒、少なくとも2つの種類の頂点から始めます。各ステップで、交差または重複エッジを作成しない限り、赤と黒の頂点の間に任意にエッジを追加します。あなたが動けなくなると、すべてのサイクルの長さが4になると私は主張します。$2N-4$$N$$N$$4$

このシナリオは、このプロセスの特別なケースで、最初に星を作成し、その後残りのエッジを追加します。すべてのサイクルの長さが場合、2 N − 4の境界が続きます。より一般的には、どの二部グラフから始めても、四角形（私が作成した単語）のグラフにいつでも完成できることを示しています。$4$$2N-4$

さて、主張を示しましょう。このプロセスでは、すべてのパスに交互に黒と赤の頂点があり、各サイクルの長さは少なくともます。グラフが接続されていない場合は、1つのコンポーネントの外面にある赤い頂点を別のコンポーネントの別の面にある黒い頂点に接続できます。したがって、グラフはすでに接続されていると想定できます。$4$

顔の長さが6以上であるとします。Fには少なくとも3つの黒い頂点が必要です（場合によっては等しい）。いくつかの頂点ならばxがで繰り返されるF、の2人の時計回りの連続出演取るのxを、言うのx - - 。 。。− x − b 。。。。Fには黒い頂点z ≠ xが含まれている必要があるため、zの位置に応じて、aまたはbをzに接続できます。$F$$6$$F$$x$$F$$x$$x-a-...-x-b...$$F$$z\neq x$$z$$a$$b$$z$エッジを複製せずに内側。頂点が繰り返されない場合は、Fの時計回りのセクションx - a - y - b - zを選択します。ここで、x 、y 、zは黒で、は赤です。場合に接続されている、その後に接続することができない我々は縁部の一方に追加できるように、（平面によって）、内部。$F$$x-a-y-b-z$$F$$x,y,z$x b a z （x 、b ）（a 、z ）$a,b$$x$$b$$a$$z$$(x,b)$$(a,z)$$F$