すべての頂点マッチングでの最小全域木

私は多項式時間アルゴリズムを書き出すことができないこのマッチング問題に遭遇しました。

レッツ頂点集合と完全重み付きグラフもとところ、それぞれ、。また、とそれぞれとエッジの重み関数とします。 $P, Q$ $P_V$ $Q_V$ $|P_V| = |Q_V|=n$ $w_P$ $w_Q$ $P$ $Q$

全単射次のようにを変更します：およびで次に $f: P_V \to Q_V$ $Q$ $f(p) = q$ $f(p^\prime) = q^\prime$ $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ 。この変形グラフで示すとletの最小スパニングツリーの重みの和である。 $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$ $Q_f$ $W(Q_f)$ $Q_f$

問題：全単射を最小化し。 $W(Q_f)$ $f: P_V \to Q_V$

この問題はどれほど難しいですか？「難しい」場合：近似アルゴリズムはどうですか？

graph-theory optimization

— MB
ソース

PとQの重みが別々に三角形の不等式を満たすと仮定できますか？その場合、それぞれのMSTを個別に検索し、オイラーツアーを形成して、それを概算の巡回セールスマンパスに変換し、対応するパス位置の頂点に一致するマッチングを選択すると、問題の2近似になるはずです。。

— David Eppstein 2013年

@DavidEppstein：はい、重みは三角形の不等式を満たします。あなたのアイデアは面白そうです、ありがとう！

— MB

（コメントから移動）PとQが三角形の不等式を満たすと仮定して、定数係数の近似値を取得するためのアイデアを次に示します。2つの近似が得られるかもしれないと思いましたが、現在証明できるのは近似比4だけです。

$pq$ $p$ $p'$ $q$ $q'$ $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$ $P(pq)+Q(p'q')$ $P$ $Q$ $P$ $Q$

（2）で、最小全域木を見つけ、パスを2倍にするオイラーツアー手法を使用して、最大で2倍の重みを持つパスを見つけます。独立して同じことを行います。結果は、2つの同型ツリー（両方のパス）であり、それらのグラフのMSTの重みは最大で2倍であり、したがって、最小同型スパニングツリー問題の解のコストは最大で2倍であり、元の問題の4倍です。。 $P$ $Q$

（3）元の問題は、ハミルトニアンパスからの縮小により、NP完全です。してみましょうあなたがハミルトン経路の存在をテストしたいしたグラフから定義します。定義場合エッジである及び場合エッジではありません。してみましょう経路グラフからまったく同じ方法で定義すること。次に、が定義されたグラフにハミルトニアンパスがある場合に限り、総コスト解があります。おそらくこれは、一定の定数以下で近似できないことを証明するためにも使用できます。 $P$ $P(pq)=1$ $pq$ $P$ $2$ $pq$ $Q$ $n-1$ $P$

— デビッド・エップスタイン
ソース

ありがとう、これは素晴らしい答えです。（どうやら、私は今後18時間以内に賞金を授与する資格がありません。）

— MB

どのように使用について用-approximation -パスTSP（すべての試みると 2つのツリー（つまり、パス）を取得するために）？arxiv.org/abs/1110.4604

(1 + \sqrt{5}) / 2

$(1+\sqrt{5})/2$

s

$s$

t

$t$

s

$s$

p

$p$

— Magnus Lie

考え直してみると、当然、最適なパスの比率しか得られず、MSTは得られません。したがって…決して気にしない;）

— マグナスリーヘットランド2013年