グラフのサイクル数

多くのサイクルのどの$C_k$ $(k \geq 3)$である$n$頂点グラフグラフは、任意のサイクル持たないように、$C_m$ $(m>k)$。

たとえば、$n=5$、$k=3$場合、グラフには最大で2つの$C_3$ため、$G$はC kがありません（k > 3 ）。$C_k (k > 3).$

上記の条件を満たす$O(n)$サイクルがあると思います。

誰か助けてもらえますか？

k = 3でない限り、はありません。以下のためのKであっても、完全な二部グラフにおけるサイクルの最大長さK 、N 、K /$O(n)$$k=3$$k$$K_{n,k/2}$あり、及び長さ-の数k個のサイクルがある（$k$$k$。たとえば、 K 2 、nは4サイクルの2次数ですが、4より長いサイクルはありません。$(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$$K_{2,n}$

一方、最長のサイクルの長さの定数境界の場合、三角形の数は実際にはO （n ）です。ここに簡単な証明があります：深さ優先検索ツリーでは、各エッジは2つのエンドポイントの下位から祖先まで最大でk − 1ステップ戻るため、ツリーのどのリーフにも次数が最大でk − $k$$O(n)$$k-1$$k-1$あり、ほとんど三角形。葉を取り除き、誘導する。$\binom{k-1}{2}$

小さな値をチェックする短いclingoプログラムを作成しました（最大7つの頂点のグラフをすばやく処理できます。それを超えると、接地にかなり時間がかかる場合があります）。

私はこのテーブルを手に入れました

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

ここにプログラムがあります：

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.