タグ付けされた質問 「graph-theory」

実数行列のカットノルムは、すべてのの最大値の量。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 二つの行列の間の距離を定義とあるとAAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 距離空間の最小の -net何ですか？（[ 0 、1 ] N × N、D C）ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) つまり、すべてのに対して、が存在するような最小サブセットのサイズそのような。 A ∈ [ 0 、1 ] N × N A ' ∈ S D C（A 、A '）≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset …

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してみましょう根付いバイナリツリーも。Tのルートから葉までのすべてのパスの長さはnです。Tのすべてのノードには常に左と右の子ノードがありますが、それらが同じである可能性があります（したがって、常に2 nパスが可能です）。TのサイズはO （p o l y （n ））によって制限されます。異なる子ノードを持つノードは、分岐ノードと呼ばれます。TTTTTTんnnTTT2ん2n2^nTTTO （p o l y（n ））O(poly(n))O(poly(n)) 1つの共有分岐ノードがあり、1つのパスが左の子ノードに行き、もう1つのパスが右の子ノードに行く場合、2つのパスは異なると言います。はO （log n ）分岐ノードを持つパスが少なくとも1つあることは明らかです。そうしないと、Tのノードが多すぎます。TTTO （ログn ）O(log⁡n)O(\log n)TTT ツリーにω （log n ）の分岐ノードがあることがわかっている場合、分岐ノードを含むパスの数に下限はありますか？O(logn)O(log⁡n)O(\log n)ω(logn)ω(log⁡n)\omega(\log n)

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重み付きエッジを持つ強連結有向グラフGが与えられた場合、Gの最小強連結サブグラフ（MSCS）の一部ではない可能性があるエッジを特定したいと思います。 このようなエッジを見つける1つの方法は、修正されたフロイドワーシャルアルゴリズムです。Floyd-Warshallアルゴリズムを使用すると、頂点iからjに移動するための最良のオプションではないエッジを特定できます。これらのノードをMSCSの一部にすることはできません。これらのノードを2つ以上の他のエッジに置き換える方が良いためです。 Floyd-Warshallプルーニングテクニックは、エッジの重みが大幅に変化する場合は非常にうまく機能しますが、エッジの重みが類似しているが大きさが大きい場合は非常に貧弱です。 似たような大きなエッジウェイトに対して効果的な剪定方法を知っていますか この問題は、私が認識していないより一般的な問題と同等ですか？この種の剪定は以前に文献で研究されたことがありますか？

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I加重グラフを持っていることを言うG=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V,E,w)ように、w:E→[−1,1]w:E→[−1,1]w:E\rightarrow [-1,1]負の重みが許可されることに注意してください-重み関数です。 言うf:2V→ Rf:2V→Rf:2^V\rightarrow \mathbb{R}頂点の任意のサブセットのプロパティ定義S⊂ VS⊂VS \subset V。 fffarg最高S⊆ Vf（S）arg⁡maxS⊆Vf(S)\arg\max_{S \subseteq V}f(S) たとえば、グラフカット関数 f（S）= ∑（U 、V ）∈ E：U ∈ S、V ∉ Sw （（u 、v ））f（S）=Σ（あなた、v）∈E：あなた∈S、v∉Sw（（あなた、v））f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v)) はサブセットの興味深いプロパティです頂点の、しかし効率的に最大化することはできません。エッジ密度関数は、興味深いプロパティの別の例ですが、悲しいことに、効率的に最大化することはできません。同様に興味深いが効率的に最大化できる関数を探しています。 「興味深い」の定義はやや曖昧にしましょうが、最大化問題は自明ではありません。たとえば、グラフのエッジを調べずに答えを決定できるはずはありません（定数関数と基数関数は興味深いものではありません）。また、fffがドメイン2 ^ Vにパディングすることにより、多項式サイズのドメインを持つ他の関数を実際にエンコードしているだけでは2V2V2^Vありません（つまり、いくつかの小さなドメインバツバツXといくつかの関数mは必要ありません）。m ：2S→ Xメートル：2S→バツm:2^S\rightarrow Xグラフを見る前に2 ^ S \ rightarrow Xがわかっているため、対象の関数は実際にはg：X→ …

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a´a´\acute{\rm a}H ∈ P T I M EHHHHHH∈PTIME∈PTIME\in PTIME 定義など 標準的なツリー分解とツリー幅の優れた調査については、こちらをご覧ください（前もってありがとう、JeffE！）。 してみましょうHHHハイパーグラフも。 次に、ハイパーグラフとマッピング場合、γ ：E （H ）→ [ 0 、∞ ）HHHγ:E(H)→[0,∞)γ:E(H)→[0,∞)\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty) B （γ）=B(γ)=B(\gamma) = { }。V ∈ V（H）：∑E ∈ V（H）、V ∈ Eγ（E ）≥ 1v∈V(H):∑e∈V(H),v∈eγ(e)≥1v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1 さらに、weight（）=ます。Σ …

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n = |の連結ランダム3次グラフG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)を考えます。V | G （n 、3 -reg ）から描画された頂点（ここで定義されているとおり、つまり3 nは偶数であり、2つのグラフは同じ確率を持ちます）。n=|V|n=|V|n =|V|G(n,3G(n,3G(n, 3)))3n3n3n もちろんある可能幅優先検索、各開始ノードについて1つのS ∈ V。A幅優先探索B Gノードから始まるS ∈ Vの割り当てレベルD （S 、V ）各ノードにV ∈ V、D （sは、V ）の間の距離であり、SおよびVにGを。nnns∈Vs∈Vs \in VBGBGB_Gs∈Vs∈Vs \in Vd(s,v)d(s,v)d(s, v)v∈Vv∈Vv \in Vd(s,v)d(s,v)d(s, v)sssvvvGGG BGBGB_GL(s,{u,v})=max{d(s,u),d(s,v)}L(s,{u,v})=max{d(s,u),d(s,v)} L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}e={u,v}∈Ee={u,v}∈Ee=\{u,v\} \in E 特定幅優先探索所与、ましょう割り当てレベルとなっているエッジの数である、およびlet。つまり、は、他のどのレベルよりも多くのエッジを含むレベルのエッジの数です。最後に、聞かせて最大であるのいずれかのためのの幅まず検索。BGBGB_Gα(BG,i)α(BG,i)\alpha(B_G,i)iiiα(BG)=maxi{α(BG,i)}α(BG)=maxi{α(BG,i)}\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}α(BG)α(BG)\alpha(B_G)α(G)α(G)\alpha(G)α(BG)α(BG)\alpha(B_G)nnnGGG をの振幅と呼びましょう。α(G)α(G)\alpha(G)GGG 質問 が無限大になる傾向があるため、の期待値はどのように増加しますか？はランダム3次であることを思い出してください。より正確には、私が本当に知りたいのは、期待される値が属しているかどうかです。α(G)α(G)\alpha(G)nnnGGGα(G)α(G)\alpha(G)o(n)o(n)o(n) 以来、私は奇数の気にしないようにしても、制限が考慮されているさん。nnnnnn

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グラフ自己同型は、エッジセット全単射を誘発するグラフノードの順列です。正式には、 iffようなノードの順列です。 EEEfff(u,v)∈E(u,v)∈E(u,v)\in E(f(u),f(v))∈E(f(u),f(v))∈E(f(u),f(v))\in E 順列の違反エッジを、非エッジにマップされるエッジ、またはプリイメージが非エッジであるエッジとして定義します。 入力：非剛体グラフG(V,E)G(V,E)G(V, E) 問題：違反したエッジの数を最小限に抑える（同一でない）置換を見つけます。 最小数の違反エッジで（非同一）置換を見つけることの複雑さは何ですか？（ある程度の複雑さの仮定の下で）最大次数が制限されたグラフの問題は難しいですか？たとえば、3次グラフは難しいですか？kkk 動機：問題は、グラフ自己同型問題（GA）の緩和です。入力グラフは自明ではない自己同型（たとえば、非剛体グラフ）を持つ場合があります。近似自己同型性（クローゼット順列）を見つけるのはどのくらい難しいですか？ 4月22日を編集 剛体（非対称）グラフには、自明な自明性しかありません。非剛体グラフには対称性（限定）があり、その対称性を近似する複雑さを理解したいと思います。

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ツリー幅が制限されたグラフには、いくつかの興味深いクラスがあります。たとえば、ツリー（ツリー幅1）、直列並列グラフ（ツリー幅2）、外平面グラフ（ツリー幅2）、外平面グラフ（ツリー幅O（k））、ブランチ幅グラフ（ツリー幅O（k））、.. 。kkkkkk 質問：ツリー幅が定数ではなく低成長関数によって制限されている興味深いグラフクラスの例はありますか？ ツリー幅よく知られたグラフクラスはありますか？O(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log\log n) ツリー幅よく知られたグラフクラスはありますか？O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 対数が一定回数繰り返されるツリー幅またはのグラフのクラスにも興味があります 。O(logkn)O(logk⁡n)O(\log^k n)O(loglog...n)O(log⁡log...n)O(\log\log...n) Obs：もちろん、のファミリーのように、与えられたツリー幅でグラフの人工的なファミリーを作るのは簡単グリッド。したがって、私は主にグラフ理論の他のブランチで研究され、たまたまツリー幅またはを持っているが一定でないツリー幅を持っているグラフのファミリーを探してい。O(logn)×nO(log⁡n)×n\;O(\log n)\times n\;O(logn)O(log⁡n)O(\log n)O(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log\log n)

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証明の複雑性は、計算の複雑性理論の最も基本的な領域です。この領域の最終的な目的は、証明することです。つまり、どの証明者も、与えられた入力式の不満の証明を与えることはできません。 NP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNP グラフは証明の正式なモデルの1つです。私の質問は、このモデルに対するさらなる制限についてです。 プルーフはDAGとして表されます。ファンイン0のノードには公理ラベルがあります。ファンアウト0の一意のノードは「false」に対応します。与えられた推論の入力規則に対して、入次数と出次数の両方を持つ各ノードには、命題を表すラベルがあります。 私の質問は： 証明DAGのクラスが制限されている場合の証明システムと関連する研究はありますか？論文、調査、講義ノートを歓迎します。 Nullstellensatz、Resolution、LS、AC0 Frege、RES（k）、多項式計算、カッティングプレーンなど、以前に研究されたプルーフシステムには、グラフ理論による特性評価がありますか？

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してみましょう。すべてのgサイクルのセットがGのダブルエッジカバーを形成するように（つまり、すべてのエッジがちょうど2つのgサイクルによって共有される）、任意の2つの交点が交差するように、ガースgの単純なグラフGを生成する必要がありますg -cyclesは、頂点、エッジ、または空のいずれかです。生成されるグラフは、任意に大きくする必要があります。g≥3g≥3g\geq 3GGGggggggGGGgggggg 生成方法にはある程度のランダムさが必要ですが、簡単な意味ではありません。かなり複雑なグラフを取得したい。たとえば、平面に長方形グリッドがあるとします。外接する四角形の反対側を特定すると、g = 4に対する上記の要件をすべて満たすグラフが得られます。このグラフは単純であると見なします。n×mn×mn\times mg=4g=4g=4 そのような方法はありますか？ 同様の問題への言及も歓迎します。

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ましょう（正）重み付け縁を有するグラフです。Iノード/サイトのセットのためのボロノイ図を定義するノードに関連付ける、 サブグラフのの厳密に近いすべてのノードによって誘導される内の他のノードに比べて、弧の重みの合計によってパスの長さを測定します。 はのボロノイ領域です。たとえば、以下の緑のノードはにあり、黄色のノードはます。 GGGSSSV ∈ Sv∈Sv \in SR （v ）R（v）R(v)GGGvvvSSSR （v ）R（v）R(v)vvvR （v1）R（v1）R(v_1)R （v2）R（v2）R(v_2) ボロノイ図の構造を理解したい。最初に、2つのサイトとの図はどのように見えますか、つまり、2サイトの二等分線はどのように見えますか（上の例では青）？Iは、二等分線を考えるの補数として における。ここに2つの特定の質問があります：v1v1v_1v2v2v_2B （v1、v2）B（v1、v2）B(v_1,v_2)R （v1）∪ R （V2）R（v1）∪R（v2）R(v_1) \cup R(v_2)GGG Q1。2つのサイトの2等分線は何らかの意味で接続されていますか？ Q2。ある凸面は、内の任意の2つのノード間の最短経路含まれていることを意味においてR （Vに）？R （v ）R（v）R(v)R （v ）R（v）R(v) 確かにこれは以前に研究されています。誰かが参照/ポインタを提供できますか？ありがとう！ Sureshのコメントの補遺：

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1965年の月とモーザーのクリークの結果の全文をグラフで探しています（指数の最大クリークの指数を持つグラフがいくつかあります）。私の大学のペイウォールは特定のジャーナルにアクセスできません。（実際、プレビューは証明の最初の数文を提供しますが、残りはありません！）nnn 自分が追求していた研究の方向性について、この結果に興味があったのですが、方向性が少し変わったので、純粋に学術的な好奇心に興味がわいてきました。 私の質問は： どこかの紙の全文へのリンク、または証明をスケッチする別の紙、または証明のスケッチがここで複製するのに十分短い場合、誰かがそれを知っていますか？また、クリークの指数関数的な数のグラフのクラスにも興味があります。 参考のためにBibTeXを追加しました。 @article {springerlink:10.1007/BF02760024, author = {Moon, J. and Moser, L.}, affiliation = {University of Alberta Edmonton Canada}, title = {On cliques in graphs}, journal = {Israel Journal of Mathematics}, publisher = {Hebrew University Magnes Press}, issn = {0021-2172}, keyword = {Computer Science}, pages = {23-28}, volume …

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動機：標準の拡張パスmaxflowアルゴリズムでは、内側のループは、有向の重み付きグラフでソースからシンクへのパスを見つける必要があります。理論的には、不合理なエッジキャパシティが存在する場合でもアルゴリズムが終了するためには、検出したパスに制限を加える必要があることはよく知られています。たとえば、Edmonds-Karpアルゴリズムは、最短経路を見つけるように指示します。 経験的に、太いパス（これにはもっと良い用語がありますか？）のパスも見つけたいと思うかもしれません。たとえば、容量スケーリングを使用する場合、少なくとものフローに耐えられる最短パスを見つけます。パスの長さに制限はありません。パスが見つからなくなったら、を減らして繰り返します。ϵεϵ\epsilonεϵ\epsilon max-flowの非常に具体的なアプリケーションの拡張パスの選択を最適化することに興味があり、短いパスと太いパスの間のこのトレードオフを調査したいと思います。（注：常に問題を解決する必要はありません。最短のウォールタイムでフローの最大の下限を見つけることに最も興味があります。） 質問：最短経路アプローチと容量スケーリングアプローチの間を補間する標準的な方法はありますか？つまり、理想的には、いくつかのパラメータが、太さとトレードオフするパスの長さを制御する、短くて太いパスを見つけるアルゴリズムがありますか？極端な場合は、一方の端で最短パスを、もう一方の端で容量スケーリングスタイルのパスを回復できるようにしたいと考えています。

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グラフのモジュール分解を導入する場合、ほとんどの作成者は11頂点グラフを使用します。これは、私がウィキペディアからコピーしたものです。 問題は、その元の設計者が誰であるかです。（ウィキペディア用にこのグラフを描いたのは誰かではなく、元のソースです。） ウィキペディアのページは2006年12月に作成されました。最初に見つけたソースは、2006年5月17日付のクリストフポールのハビリテーションの論文です（集中的に検索していません）。

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ましょうG∼G(n,n−1/2)G∼G(n,n−1/2)G \sim G(n, n^{-1/2})上のランダムグラフである≈n3/2≈n3/2\approx n^{3/2}エッジ。非常に高い確率で、GGGは444サイクルが多数あります。私たちの目標は、これらの444サイクルのいずれかをできるだけ早く出力することです。 隣接リスト形式でGGGにアクセスできるとすると、Oで一定の確率で成功できます（√O(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})任意のノードの選択以下の通り時間vvvランダム生成を開始222から出発-pathsをvvv。エンドポイントを共有する222つの異なる2つのパスが見つかったら、完了です。可能なエンドポイントはnnnあり、誕生日のパラドックスによって、約 √を発見した後、一定の確率で成功しますn−−√n\sqrt{n}それらの n。 もっと上手くできる？特に、一定の確率で成功する一定時間アルゴリズムは可能ですか？

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