多項式サイズのルートツリーの「短い」パス数の下限

してみましょう根付いバイナリツリーも。のルートから葉までのすべてのパスの長さはです。すべてのノードには常に左と右の子ノードがありますが、それらが同じである可能性があります（したがって、常にパスが可能です）。のサイズはによって制限されます。異なる子ノードを持つノードは、分岐ノードと呼ばれます。 $T$ $T$ $n$ $T$ $2^n$ $T$ $O(poly(n))$

1つの共有分岐ノードがあり、1つのパスが左の子ノードに行き、もう1つのパスが右の子ノードに行く場合、2つのパスは異なると言います。は分岐ノードを持つパスが少なくとも1つあることは明らかです。そうしないと、ノードが多すぎます。 $T$ $O(\log n)$ $T$

ツリーに分岐ノードがあることがわかっている場合、分岐ノードを含むパスの数に下限はありますか？ $O(\log n)$ $\omega(\log n)$

graph-theory tree

— マーク・ベリー
ソース

@Marc：文字

（5行目）は明らかに「ノードが多すぎる」（7行目）からのものですか？

T

$T$

— Oleksandr Bondarenko

@Marc：「分岐ノードで異なる子ノードを使用する場合、2つのパスは異なる」という文をより正確に記述してください。異なる子ノードを使用する分岐ノードがある場合、それらは異なるということですか？

— Oleksandr Bondarenko 2010

質問を編集して、より正確にしようとしています。

— Marc Bury

n

$n$

ω (\log n)

$\omega(\log n)$

$\Omega(\log n)$ $O(\log n)$ $\Omega(\log n)$

$n$

これは下限のスケッチです。

$< n^c$ $< n^c$

$\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$

$d(v)$ $\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

$n^c$ $O(\log n)$ $\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$ $1/n$ $v$ $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ $\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$ $\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

数値合計を取得することを示すのはかなり簡単です $2^{-k}$ $1$ $1-\frac{1}{n}$ $\log_2 n$ $\Omega(\log n)$ $O(\log n)$

— ピーター・ショー
ソース

なぜ私が方程式を不等式と呼んでいるのか疑問に思っている場合、クラフトの不等式は完全な二分木に対して等号を持っています。

— Peter Shor、

この素敵な答えをありがとう。今までクラフトの不平等を知りませんでした。非常に有用な不平等。

— Marc Bury