最小サイクルがダブルエッジカバーを形成するように周囲

してみましょう。すべてのサイクルのセットがダブルエッジカバーを形成するように（つまり、すべてのエッジがちょうど2つのサイクルによって共有される）、任意の2つの交点が交差するように、ガース単純なグラフを生成する必要があります -cyclesは、頂点、エッジ、または空のいずれかです。生成されるグラフは、任意に大きくする必要があります。 $g\geq 3$ $G$ $g$ $g$ $G$ $g$ $g$

生成方法にはある程度のランダムさが必要ですが、簡単な意味ではありません。かなり複雑なグラフを取得したい。たとえば、平面に長方形グリッドがあるとします。外接する四角形の反対側を特定すると、に対する上記の要件をすべて満たすグラフが得られます。このグラフは単純であると見なします。 $n\times m$ $g=4$

そのような方法はありますか？

同様の問題への言及も歓迎します。

— べっこ
ソース

では、

サイクルを、グラフのいくつかの多面体埋め込みの面にしたいですか？（埋め込みのすべての面がディスクであり、2つの面が共通の頂点を共有する、共通のエッジを共有する、またはまったく交差しない場合、グラフの埋め込みは「多面体」です。）

g

$g$

— JeffεJun

@Jɛﬀ Eはい。すべての

サイクルが面であることが保証されており、すべての面が

サイクルであることが保証されている

、それは同等の説明です。

g

$g$

g

$g$

— becko

@Jɛﬀ E明確な4正規グラフとその多面体埋め込みがどこにあるか知っていますか？それらは巨大なグラフである必要はありませんが、私が述べたもの以外に、私が要求した特性を満たす他のグラフを見たいです。この答えのおかげで、多面体埋め込み可能性の決定がNP完全であることも知っています。それにもかかわらず、多面体の埋め込みがある場合、それを見つけるアルゴリズムについても知りたいです。そのようなアルゴリズムを説明するリソース/論文/ ...を知っていますか？

— becko

4つの通常のグラフと多面体埋め込みの間にリンクはありますか？誰かがそれについて説明していますか？何年か前にランダムに生成された通常のグラフに関する論文を調べたところ、かなりの数があるため、この質問を通常のグラフで言い換えることができれば、より多くの可能性につながる可能性があります。

— vzn

g

$g$

g

$g$

g

$g$

中途半端な考えは少し野心的でした。 参考までに以下に含めますが、実際に指定した距離条件は、大きな胴回りを保証するには十分ではありません。

大きな胴回りを持つ任意に大きな高度に対称的な表面マップがありますが、公開された存在証明は、トポロジーやジオメトリ自体ではなく、主にグループ理論に基づいています。

$g$ $d$ $r$ $1/g + 1/d < 1/2$ $g$ $d$ $r$ $r$ $g$

ローマのネデラとマーティンシュコビエラ。平面幅が大きいサーフェス上の通常のマップ。 European J. Combinatorics 22（2）：243--262、2001。
ジョゼフ・シラーシュ。三角形グループの表現と通常の地図の構成。 手続きロンドン数学。Soc。82（3）：513-532、2001。

このようなサーフェスマップを1つ作成したら、カバースペースを作成することにより、同じ周囲と次数を持つより大きなマップを生成できます。

$G$

$G$ $g$
$G$ $G$ $g$ $g$ $G$
$G$ ~~$G$ $g$~~

$g$

$G'$ $g$ $G$ $G$ $G'$ $G'$ $g$

$G$ $d$ $d$ $g$ $1/d + 1/g < 1/2$

— ジェフ
ソース

また、この構築から得られるグラフはエキスパンダーです。

— Jeffε

g

$g$

エキスパンダーグラフとは何ですか？

— becko

@becko、質問する前にGoogleにしてください:) en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph

— Kaveh

@Kaveh OK。すみません、残念ですが:)

— becko