証明の複雑性は、計算の複雑性理論の最も基本的な領域です。この領域の最終的な目的は、証明することです。つまり、どの証明者も、与えられた入力式の不満の証明を与えることはできません。
グラフは証明の正式なモデルの1つです。私の質問は、このモデルに対するさらなる制限についてです。
プルーフはDAGとして表されます。ファンイン0のノードには公理ラベルがあります。ファンアウト0の一意のノードは「false」に対応します。与えられた推論の入力規則に対して、入次数と出次数の両方を持つ各ノードには、命題を表すラベルがあります。
私の質問は：
証明DAGのクラスが制限されている場合の証明システムと関連する研究はありますか？論文、調査、講義ノートを歓迎します。
Nullstellensatz、Resolution、LS、AC0 Frege、RES（k）、多項式計算、カッティングプレーンなど、以前に研究されたプルーフシステムには、グラフ理論による特性評価がありますか？
回答:
証明DAGに対する最も自然な制限は、それがツリーであることです。つまり、「レンマ」（中間結論）は2回以上使用されません。このプロパティは「ツリーのような」ものと呼ばれます。一般的な解像度は、たとえば、Ben-Sasson、Impagliazzo、およびWigdersonによって示されているように、ツリーのような解像度よりも指数関数的に強力です。この概念は他の証明システムでも考慮されています。「ツリーのようなX」を検索してください。Xは興味のある証明システムです。解決の特定のケースでは、考慮できる他の制限があります。たとえば、通常の解決策については、Alekhnovich、Johannsen、Pitassi、Urquhartの論文を参照してください。
DPLLの従来の実装はツリーのような解像度の反駁に対応するため、ツリーのような解像度は特に重要です。実際に重要な節学習の手法は、一般的なDAGの許可に対応しています。したがって、証明DAGの構造は、それを生成するアルゴリズムにも強く依存します。
MüllerとSzeiderは、証明DAGが有界ツリー幅または有界パス幅を制限している解決証明を研究します（これらのグラフ複雑度測定の有向グラフへの適切な拡張のため）。
彼らは、DAGのパス幅がプルーフのスペースの複雑さと本質的に同じであることを示し、ツリー幅に等しいプルーフスペースの一般化された概念を定義します。
（Joshua Grochowが既にコメントしているように）DAGとツリーのようなFregeの証明は多項的に同等であるため（この事実の証明についてはKrajicekの1995 モノグラフを参照））。
解像度などの弱い証明システムの場合、ツリーのようなものは、DAGのような証明よりも指数関数的に弱いです（前述のYuval Filmusのように）。
ベックマンとバス[1]（以下のベックマン[2]）は、一定の深さのフレゲ証明の証明グラフの高さ（同等に、深さ）を制限することを検討し、DAGのようなツリーサイズと一定の深さの高さの関係を調査しました。フレゲ証明。（証明グラフの深さを制限することと、証明線に表示される回路の深さを制限することの違いに注意してください）。
ツリーのような証拠とDAGのようなNullstellensatz（および多項式計算）の証明の間にも分離がある可能性があります。これは、現在覚えていません。