ランダム3次グラフの振幅

連結ランダム3次グラフ $G=(V,E)$ を考えます -reg から描画された頂点（ここで定義されているとおり、つまりは偶数であり、2つのグラフは同じ確率を持ちます）。 $n =|V|$ $G(n, 3$ $)$ $3n$

もちろんある可能幅優先検索、各開始ノードについて1つ。A幅優先探索ノードから始まる割り当てレベル各ノードに、の間の距離であり、およびに。 $n$ $s \in V$ $B_G$ $s \in V$ $d(s, v)$ $v \in V$ $d(s, v)$ $s$ $v$ $G$

$B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

特定幅優先探索所与、ましょう割り当てレベルとなっているエッジの数である、およびlet。つまり、は、他のどのレベルよりも多くのエッジを含むレベルのエッジの数です。最後に、聞かせて最大であるのいずれかのためのの幅まず検索。 $B_G$ $\alpha(B_G,i)$ $i$ $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ $\alpha(B_G)$ $\alpha(G)$ $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

をの振幅と呼びましょう。 $\alpha(G)$ $G$

質問

が無限大になる傾向があるため、の期待値はどのように増加しますか？はランダム3次であることを思い出してください。より正確には、私が本当に知りたいのは、期待される値が属しているかどうかです。 $\alpha(G)$ $n$ $G$ $\alpha(G)$ $o(n)$

以来、私は奇数の気にしないようにしても、制限が考慮されているさん。 $n$ $n$

graph-theory co.combinatorics

— ジョルジョカメラニ
ソース

（1）三次グラフを描く確率分布を指定してください。（2）関数としての期待に興味がありますか？（3）が偶数であると仮定します（そうでない場合、3次グラフは存在しません）。だから、私はあなたが奇数の気にしないように制限が考慮されていると思います。

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— 岡本良夫

@YoshioOkamoto：（1）から -regで定義されるようstanford.edu/class/msande337/notes/...（偶数であり、任意の二つのグラフは、同じ確率を有します）。（2）この点を明確にするために質問を充実させました。（3）はい、は偶数であり、制限は私が奇数の気にしないように考慮されています。

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani 2011

@SureshVenkat：質問の読みやすさを改善していただきありがとうございます;-)

— Giorgio Camerani

ランダム3次グラフで集中結果がある可能性が非常に高いと言います。つまり、期待値、高確率値などはすべて同じです。OPが明確にしない限り、これらの質問のいずれかに対する回答は、この質問に対する合理的な回答になると思います。

α (G)

$\alpha(G)$

— Peter Shor、

@WalterBishop：もう1つ質問させてください。が切断されている場合、どのように定義しますか？

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— 岡本芳夫

回答:

エキスパンダーグラフの振幅。ランダム3正則グラフは、ほぼ確実に漸近的にパンダグラフである（ウィキペディアを参照）振幅の期待がされるので、それはパンダグラフではないという確率はになるので、とになり。 $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

パラメータを持つエクスパンダグラフのの任意のセットのために、頂点を有する、あるセットの隣人。さて、上のレベルの頂点の数ましょう可能で、。次に、が大きすぎない限り（つまり、頂点の半分がまだ含まれていない限り）、拡張プロパティから次に、頂点を含むレベルを探します。つまり、および $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$ 。このレベルが大きい場合、つまり場合、これで完了です。そうでなければ、次のレベルの大き有するおよび完了です。

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

この証明は、エッジの数（OPが尋ねた）ではなく、レベルの頂点の数を調べますが、各頂点に到達する必要があるため、ステップ追加されたエッジは常にレベル頂点と同じです。いくつかのエッジで。 $i$ $i$

— ピーター・ショー
ソース

ご回答有難うございます！これは非常に驚くべきことです（少なくとも私にとって）：エッジの総数がであり、レベルの数がである場合でも、混雑したレベルにはまだエッジがあります。したがって、エッジはレベル間で均一に散在していません：私の（経験的、間違った）直感は、いくつかの初期レベルといくつかの最終レベルを除いて、エッジがその間にある中央レベルがあったはずであるということでしたやや均一に散らばっています。

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

— Giorgio Camerani 2011

「経験的」とは、実際にテストを実行したことを意味しますか？は3次ランダムグラフで約です。ftp

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— sop.inria.fr/

はい、からまでのテストを実行し、量を測定しました。場合接近として増加し、これは経験的な証拠を与えているだろう。周り、約だっ、周りにいる間、約だった（ので、もちろん、私は、経験的な証拠として、これらの数値を検討したことがない漸近を表現するためにはまだ小さすぎます）。しかし、私は「経験的直観」と言ったときに

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— ジョルジオカメラーニ

...私は、テストの結果ではなく、本当の（間違った）感覚を意味しました。これらのBFSは、「ソーセージ」の形（つまり、極端な場合は小さく、中央は一定している）である必要があると感じました。「彼らはそのようでなければならない」と私は思った。上記の証明は、私の直感がどれほど明白で間違っていたかを示しています。それにもかかわらず、私はまだ驚いています。各レベルのエッジ、レベルではなく、エッジ。

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

— Giorgio Camerani 2011

Peter Shorの答えは本当に良いですが、これに答える別の方法があります。ツリー幅が振幅の2倍に上限があることを証明することです（頂点バージョン）。3レギュラーエキスパンダーのツリー幅が線形であることはわかっているので、これで完了です。

BFSツリーを指定したツリー分解の構築を参照してください。このプレゼンテーションのスライド15です。http：//www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

すべてのバッグのサイズが、最も広いレベルの2倍の上限があることは簡単にわかります。

— ダイデスト
ソース

回答ありがとうございます。そのプレゼンテーションは非常に役に立ちました。

— Giorgio Camerani