効率的に最大化できるグラフの興味深い関数。

I加重グラフを持っていることを言う$G = (V,E,w)$ように、$w:E\rightarrow [-1,1]$負の重みが許可されることに注意してください-重み関数です。

言う$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$頂点の任意のサブセットのプロパティ定義$S \subset V$。

$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

たとえば、グラフカット関数

「興味深い」の定義はやや曖昧にしましょうが、最大化問題は自明ではありません。たとえば、グラフのエッジを調べずに答えを決定できるはずはありません（定数関数と基数関数は興味深いものではありません）。また、$f$がドメイン2 ^ Vにパディングすることにより、多項式サイズのドメインを持つ他の関数を実際にエンコードしているだけでは$2^V$ありません（つまり、いくつかの小さなドメイン$X$といくつかの関数mは必要ありません）。$m:2^S\rightarrow X$グラフを見る前に2 ^ S \ rightarrow Xがわかっているため、対象の関数は実際には$g:X\rightarrow \mathbb{R}$であり、$f(S) = g(m(S))$ これが事実である場合、「最大化」の問題は、実際にはすべての入力で関数を評価する問題にすぎません。）

編集：エッジの重みを無視すると、最小化の問題が簡単になることは事実です（ただし、負のエッジの重みを許可しているため、カット関数は最小化しません）。しかし、私は最大化問題に明確に興味があります。ただし、この設定では自然加重問題では問題になりません。

たびエッジの数をカウントし（U 、V ）の観点で定義されたいくつかのブール述語を満たすのu ∈ SとV ∈ Sを、そしてあなたが書いたことは、単にブール2-CSPです。目的関数は、変数へのすべての割り当てについて、満足する句の数を最大化するように求めます。これはNPハードであることが知られており、UGCを想定して正確な硬度しきい値も知られています（Raghavendra'08を参照）。$f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

エッジのサブセットで最大化したい場合、多くの自然な肯定的な例があります。たとえば、最大マッチングは、この場合の多項式時間問題の一例です。

ドーム型パーティション/弱い2色。

（この場合には各場合Vは∈ Sは、で隣接有するV ∖ S、逆もまた同様である。そうでなければ、F （S ）= 0を有する。A液F （Sの）= 1でない、単離されたがない場合は常に存在しますノード、それは多項式時間で簡単に見つけることができます。）$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

最小カット（具体的には、頂点カット）。

（この場合、は次のようなものになります：セットSのノードを削除してもGが少なくとも2つのコンポーネントに分割されない場合、| V | − | S |それ以外の場合。fを最大化することは、最小カットを見つけることと同じです。、これは多項式時間で実行できます。）$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

最小エッジカットに対応する同様の関数を定義することもできます。

（たとえば、S = ∅またはS = Vの場合、は0です。それ以外の場合は、| E | − | X |であり、Xは、Sに 1つの端点とV ∖にもう1つの端点を持つエッジのセットです。S）$f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

最大の独立セット。

$f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$