強く結びついた有向グラフの剪定

重み付きエッジを持つ強連結有向グラフGが与えられた場合、Gの最小強連結サブグラフ（MSCS）の一部ではない可能性があるエッジを特定したいと思います。

このようなエッジを見つける1つの方法は、修正されたフロイドワーシャルアルゴリズムです。Floyd-Warshallアルゴリズムを使用すると、頂点iからjに移動するための最良のオプションではないエッジを特定できます。これらのノードをMSCSの一部にすることはできません。これらのノードを2つ以上の他のエッジに置き換える方が良いためです。

Floyd-Warshallプルーニングテクニックは、エッジの重みが大幅に変化する場合は非常にうまく機能しますが、エッジの重みが類似しているが大きさが大きい場合は非常に貧弱です。

似たような大きなエッジウェイトに対して効果的な剪定方法を知っていますか この問題は、私が認識していないより一般的な問題と同等ですか？この種の剪定は以前に文献で研究されたことがありますか？

エッジの重みは正の整数であると仮定します。エッジの重みを持つ有向グラフGが与えられ、eがGの最小重みの強く接続されたスパニングサブグラフに属さない場合は、エッジeを 冗長と呼びます。

P = NPでない限り、エッジの重みがある特定の有向グラフで、エッジの重みがある場合に冗長エッジを常に見つける多項式時間アルゴリズムは存在しないと主張します。より正確に：

定理。有向グラフ所与Gエッジの重みとは、冗長エッジを見つけるために、NP困難であるGことまたはDECLARE Gは、冗長なエッジを有していません。

証明。重要な観察は、Gに一意の最小重みの強く接続されたスパニングサブグラフがある場合、冗長エッジを1つずつ削除することによってそのサブグラフを計算できることです。したがって、一意性によって最小重みの強く接続されたスパニングサブグラフの問題が容易にならないことは変わりませんが、これは次の補題によって証明されます。 QED。

補題。エッジの重みを持つ有向グラフGが与えられた場合、Gに一意の最小重みの強連結スパニングサブグラフがあるという約束のもとでも、Gの最小重みの強連結スパニングサブグラフの重みを計算することはNP困難です。

証明。ご存じのとおり、約束のない問題は、ハミルトニアン回路問題からの削減により、NP困難です（単位重量の場合でも）。約束のある問題を約束のないまま減らします。

ましょうGは、エッジの重み付き有向グラフです。エッジラベルGをすることにより、E ₀、E ₁、...、Eの_{M -1}、mはのエッジの数であり、G。してみましょうwが_、私はエッジの所定の重量も電子の_私。新しい重みw ′ _i = 2 ^m w _i +2 ^iとします。次に、新しい重みを持つGに、固有の最小重みの強く接続されたスパニングサブグラフがあることを簡単に確認できます。最小重量を確認することも簡単ですWにおける強連結スパニングサブグラフのG元の量の最小量から計算することができるW '内のGとして新しい重み付きW =⌊ W / 2' ^M ⌋。 QED。