グラフのボロノイ図

ましょう（正）重み付け縁を有するグラフです。Iノード/サイトのセットのためのボロノイ図を定義するノードに関連付ける、サブグラフのの厳密に近いすべてのノードによって誘導される内の他のノードに比べて、弧の重みの合計によってパスの長さを測定します。はのボロノイ領域です。たとえば、以下の緑のノードはにあり、黄色のノードはます。 $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ $R(v_2)$
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ボロノイ図の構造を理解したい。最初に、2つのサイトとの図はどのように見えますか、つまり、2サイトの二等分線はどのように見えますか（上の例では青）？Iは、二等分線を考えるの補数としてにおける。ここに2つの特定の質問があります： $v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1。2つのサイトの2等分線は何らかの意味で接続されていますか？

Q2。ある凸面は、内の任意の2つのノード間の最短経路含まれていることを意味において？ $R(v)$ $R(v)$

確かにこれは以前に研究されています。誰かが参照/ポインタを提供できますか？ありがとう！

Sureshのコメントの補遺：
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— ジョセフ・オルーク
ソース

Q1が意味を成すためには、顔の感覚が必要ですよね？それ以外の場合、「実際の」二等分線はエッジの中央にあり、この点の直前と直後に頂点を導入することで、二等分線が確実に切断されます。多分グラフが和音であると仮定すれば、何かを証明できるでしょう。Q2に関しては、これは、穴（または地形）を含むポリゴンの測地線であっても誤りです。私の推測では、両方の質問に対して重要な答えを得るためには、グラフ上でかなり強いものを想定する必要があります。

— Sariel Har-Peled

サリエル、これらの観察に感謝します。はい、私はあまりにも多くを望んでいたようです、そしておそらくグラフの特別なクラスでのみ素晴らしい構造特性があるでしょう。

— Joseph O'Rourke

通常の球では、ボロノイセルは半球より大きくなることができないので、この問題は発生しません。しかし、私のコメントはより一般的には、あなたが潜在的に一般的なリーマン多様体におけるボロノイセルの凸性を要求しているという点でSarielのコメントと同じであり、それは真実ではありません。

— Suresh Venkat

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

だから、今ここで興味深い質問があると思います。基礎となるメトリックが多様である場合（Sureshによって提案）。ここで、3つの点qが存在する場合にのみ、2つの点を接続します。他の2つの点は、2つの最近傍点です（これをある種の証人の複合体と考えてください）。自然な推測は、多様体が2倍になる場合、二等分線が接続されるように常にO（1）ポイントを追加できるというものです。うーん...

— Sariel Har-Peled

Mehlhorn、K .:グラフのシュタイナー問題の高速近似アルゴリズム。情報処理書簡27、125–128（1988）

Erwig、M .:アプリケーションによるグラフボロノイ図。ネットワーク36（3）、156–163（2000）

両方の参照がコピーされました

Matthew T. Dickerson、Michael T. Goodrich、Thomas D. Dickerson、Ying Daisy Zhuo：地理ネットワークにおけるラウンドトリップボロノイ図と倍増密度。計算科学のトランザクション14：211-238（2011）

— デビッド・エップスタイン
ソース

これは少し掘り下げますが、表面的には、ダイアグラムの多くの構造的特性がこれらの論文で識別されているようには見えません（おそらく注目すべき特性がほとんどないためです！）。

— ジョセフ・オルーク

実際、あまり知られていないようです。sommer.jp/voronoi.htmに

— Christian Sommer