タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ理論は、オブジェクト間のペアワイズ関係をモデル化するために使用される数学的構造であるグラフの研究です。

5
ツリー幅の概念の起源
今日の私の質問は（いつものように）ちょっとばかげています。しかし、私はあなたに親切にそれを考慮するように要請します。 ツリー幅の概念の背後にある起源や動機について知りたいと思いました。FPTアルゴリズムで使用されていることは確かに理解していますが、それがこの概念が定義された理由だとは思いません。 ロビン・トーマス教授のクラスで、このトピックに関する筆記ノートを作成しました。私はこの概念のアプリケーションのいくつかを理解していると思います（ツリーの分離プロパティを分解されたグラフに転送するように）が、何らかの理由で、この概念が開発された理由はグラフの近さを測定することであると確信していません木に。 私は自分自身をより明確にしようとします（できるかどうかはわかりませんが、質問が明確でない場合はお知らせください）。同様の概念が、この概念が「借用」されたと思われる数学の他の分野のどこかに存在したかどうかを知りたい。私の推測はトポロジーになりますが、背景が不足しているため、何も言えません。 私がこのことに興味を抱く主な理由は、その定義を初めて読んだとき、誰がなぜそれをどのように思い、どのような目的で考えるのかわからなかったからです。質問がまだ明確でない場合、私は最終的にこのようにそれを述べてみます-treewidthの概念が存在しないふりをしましょう。離散的な設定に対する自然な質問（またはいくつかの数学の定理/概念の拡張）は、ツリー幅として定義（関連する単語を使用させてください）を思い付くようになります。
3
グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの結果
グラフ同型問題（GI）は、おそらくのための最良の既知の候補であるNP-中間問題。最もよく知られているアルゴリズムは、実行時準指数アルゴリズムです。多項式階層が崩壊しない限り、GIは完全ではないことが知られています。NP2O （n ログn√）2O(nlog⁡n)2^{O(\sqrt{n \log n})}N PNP\mathsf{NP} グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの複雑性理論的な結果はどうなるでしょうか？ GIの準多項式時間アルゴリズムは、複雑性理論の有名な推測に反論するでしょうか？ トーナメントの最小支配集合問題、グループ同型写像問題、トーナメント同型写像問題のような他の同様の問題には、準多項式時間（QP）アルゴリズムがあります。後者の2つの問題は、GIに対して多項式時間で縮約可能です。 トーナメントの最小支配セットの問題を効率的にGIに減らすことはできますか？ QPにとってGIが難しいと推測する推測はありますか？ 更新（2015-12-14）：Babaiは、GIの準多項式時間アルゴリズムのarXivに関する予備的な草案を投稿しました。 更新（2017-01-04）：Babai はアルゴリズムが準多項式時間にあるという主張を撤回しました。新しい分析によれば、アルゴリズムは準指数時間にありますの内側にある。2 n o （1 ）expexp（O〜（lgn−−−√））exp⁡exp⁡(O~(lg⁡n))\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))2no （1 ）2no(1)2^{n^{o(1)}} 更新（2017-01-09）：ババイは準多項式時間の主張を復活させ、問題の手順をより効率的な手順に置き換えました。
2
グラフの選択可能性を下限にするには、いくつの異なる色が必要ですか？
頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みを\ binom {N（K）}、{K}を^ n個の選択肢F、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックしますk ^ nn ^ {O（1）}）。そうでなければ、n ^ {kn}のようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}
17
四色定理を暗示する推測
4色定理（4CT）は、すべての平面グラフが4色付け可能であると述べています。[Appel、Haken 1976]と[Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 1997]によって与えられた2つの証明があります。これらの証明は両方ともコンピューター支援であり、非常に威圧的です。 グラフ理論には、4CTを暗示するいくつかの推測があります。これらの推測の解決には、おそらく4CTの証拠のより良い理解が必要です。そのような推測の1つを次に示します。 推測：平面グラフ、Cを色のセット、f ：C → Cを固定小数点の自由なインボリューションとします。ましょL = （LのV：V ∈ V （Gが））ようなものでGGGCCCf：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：V ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) すべてのためのV ∈ Vと| Lv| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4V ∈ Vv∈Vv \in V もし次いで、F （α ）∈ LのVすべてのためのV ∈ Vすべてについて、α ∈ C。α ∈ Lvα∈Lv\alpha …
3
負のウェイトエッジを持つ最大カット
LET重み関数とのグラフである。最大カットの問題は以下を見つけることです： If重み関数は負ではありません（つまり、すべてのe \ in E に対してw（e）\ geq 0）、max-cutには非常に単純な2近似が多くあります。たとえば、次のことができます。G = （V 、E 、W ）G=(V,E,w)G = (V, E, w)W ：E → Rw:E→Rw:E\rightarrow \mathbb{R}のarg maxのS ⊂ V Σ （U 、V ）∈ E ：U ∈ S 、V ∉ S W （U 、V ）argmaxS⊂V∑(u,v)∈E:u∈S,v∉Sw(u,v)\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not …
3
重み付きDAGが与えられた場合、各重みをその祖先の重みの合計で置き換えるO（V + E）アルゴリズムはありますか？
もちろん、問題は二重カウントです。特定のクラスのDAG =ツリー、またはシリアル/パラレルツリーでさえも簡単に実行できます。妥当な時間で一般的なDAGで機能する唯一のアルゴリズムは近似アルゴリズム（Synopsis拡散）ですが、その精度の向上はビット数で指数関数的です（そして多くのビットが必要です）。 背景：このタスクは、BBChop（http://github.com/ealdwulf/bbchop）の確率計算の一部として、断続的なバグを見つけるためのプログラム（つまり、「ベイズバージョン」 git bisect '）。したがって、問題のDAGは改訂履歴です。つまり、エッジの数がノードの数の2乗に近づく可能性は低く、小さなkの場合、ノードの数のk倍未満になる可能性が高いことを意味します。残念ながら、リビジョンDAGの他の有用なプロパティは見つかりませんでした。たとえば、最大のトライコネクテッドコンポーネントがノード数の平方根としてのみ成長することを期待していましたが、悲しいことに（少なくともLinuxカーネルの歴史では）線形に成長します。
1
ツリー幅とNL対L問題
ST接続性は、有向グラフ 2つの区別された頂点と間に有向パスが存在するかどうかを判断する問題です。この問題がログスペースで解決できるかどうかは、長年の未解決の問題です。これはN L対L問題と呼ばれます。t G （V 、E ）ssstttG （V、E）G（V、E）G(V,E)NLNLNLLLL 基礎となる無向グラフがツリー幅を制限している場合、ST接続の複雑さはどうなりますか。GGG NL-hardとして知られていますか？そこにある知ら上限は？o （ログ2n ）o（ログ2n）o({\log}^2n)
5
マイナー除外されたグラフにとって簡単なものは何ですか？
色の近似数は、Jung / Shahのアルゴリズムを使用して、マイナー除外されたグラフで簡単に思えます。一般的なグラフでは難しいが、マイナーな除外グラフでは簡単な問題の他の例は何ですか？ 更新10/24 Groheの結果に従って、有界ツリー幅グラフでテストするFPTの式は、マイナーな除外グラフでテストするFPTであるようです。さて、問題は、そのような数式の割り当てを満たすカウントの扱いやすさにどのように関係するのでしょうか？ 上記の記述は偽です。MSOLは、有界ツリー幅グラフではFPTです。ただし、3色性は、マイナー除外されていない平面グラフではNP完全です。
1
グラフの同型性は平方根有界非決定性で決定できますか？
有界非決定性は、関数をリソース限定の決定論的チューリングマシンで受け入れられる言語のクラスに関連付けて、新しいクラス -を形成します。このクラスは、を定義するために使用されるのと同じリソース境界に従いますが、は最大で非決定的移動を許可する非決定的チューリングマシンによって受け入れられる言語で構成されます。（私は、KintalaとFischerによるオリジナルの代わりに、Goldsmith、Levy、Mundhenkの表記を使用していますは入力のサイズです。）C g C M C M g （n ）ng（n ）g(n)g(n)CCCgggCCCMMMCCCMMMg（n ）g(n)g(n)nnn 私の質問： GRAPH ISOMORPHISMが -ような定数がありますか？C √C ≥ 0c≥0c\ge0 PTIMEc n−−√cnc\sqrt{n}P T I M EPTIME\mathsf{PTIME} （編集： Joshua Grochowは、この質問に対する肯定的な回答は、現在知られているよりも漸近的なランタイム境界を持つGIのアルゴリズムを意味すると指摘しました。したがって、非決定的な動き。）o （n−−√ログn）o(nlog⁡n)o(\sqrt{n}\log n) バックグラウンド 非決定論的移動は、決定論的に探索するために最大で多項式数の構成を作成するため、すべての固定定数、 -について またパディングにより一つにNP完全言語を示すことができる - \ mathsf {P}すべてのための\ varepsilon > 0。P T I M E = cはログN P T I …
4
スペクトルグラフ理論によってのみ得られた証明
スペクトルグラフ理論への関心が高まっており、それが魅力的だと感じており、これまでよりも徹底的に読んでいないドキュメントをいくつか収集し始めました。 しかし、いくつかの情報源（たとえば、向こう）に現れた声明には興味があります。本質的には、グラフ理論の結果の一部はスペクトルベースの手法のみを使用して証明されており、今のところ、これらの手法をバイパスすることは知られています。 これをスキップしない限り、これまで読んだ文献でそのような例を目にしたことを思い出せません。そのような結果の例を知っていますか？
3
ハミルトニアンサイクルを持たないランダムグラフを作成する方法
クラスA がハミルトニアンサイクルを持つサイズすべてのグラフを示すとします。このクラスからランダムグラフを生成するのは簡単です。n個の孤立ノードを取得し、ランダムハミルトニアンサイクルを追加してから、エッジをランダムに追加します。nnnnnn クラスB がハミルトニアンサイクルを持たないサイズすべてのグラフを示すようにします。このクラスからランダムなグラフを選択するにはどうすればよいですか？（またはそれに近い何かをする）nnn
4
多項式時間で最大の独立集合を見つけることができる最大クラス？
ISGCIグラフの1100クラス以上のリスト。これらの多くについては、多項式時間で独立集合を決定できるかどうかがわかります。これらはIS-easyクラスと呼ばれることもあります。最大の IS-easyクラスのリストをコンパイルしたいと思います。これらのクラスが一緒になって、この問題の（既知の）扱いやすさの境界を形成します。 ISが簡単な無限クラスに有限の数のグラフを追加するだけで、扱いやすさに影響を与えないため、いくつかの制限があります。クラスを遺伝性のものに制限しましょう（誘導サブグラフの取得、または同様に、除外された誘導サブグラフのセットによって定義される）。さらに、説明が小さいセットXに対してXフリーであるファミリのみを考えてみましょう。そこかもしれません されても可能なように扱いやすいクラス（の無限の昇順チェーン(P,star1,2,k)(P,star1,2,k)(P,\text{star}_{1,2,k})-freeおよび以下のDavid Eppsteinによって説明されているクラス）、しかし、IS-easyであることが実際に証明されているクラスに注意を制限しましょう。 私が知っているものは次のとおりです。 完璧なグラフ フリー(P,star1,2,5)(P,star1,2,5)(P,\text{star}_{1,2,5}) フリー(K3,3−e,P5)(K3,3−e,P5)(K_{3,3}-e, P_5) 共同メイニエル ほぼ二分 椅子なし （、クリケット）無料P5P5P_5 -free(P5,Kn,n)(P5,Kn,n)(P_5,K_{n,n})（固定）nnn -無料(P5,X82,X83)(P5,X82,X83)(P_5, X_{82}, X_{83}) 他のそのような最大クラスは知られていますか？ 編集：除外された未成年者によって定義されたクラスを扱うYaroslav Bulatovが尋ねた関連する質問も参照してください。遺伝クラスのグローバルプロパティを参照してください。より一般的な質問については、以前に遺伝クラスについて質問しました。 Jukka Suomelaがコメントで指摘しているように、マイナーな除外されたケースも興味深い（そして興味深い質問をするでしょう）が、これはここでの焦点では​​ありません。 Davidの例を回避するために、Xのすべてのグラフが独立した頂点を持つわけではない、Xフリーグラフとして最大クラスも定義できる必要があります。 以下の回答にあるクラス： りんごなし（StandaŽivný推奨） （、house）-freeP5P5P_5（David Eppsteinにより提案） （爪）フリーK2∪K2∪K_2 \cup（デイビット・エップスタインによって示唆） 2013-10-09を追加しました： Lokshtanov、VatshelleおよびVillangerによる最近の結果は、Martin Vatshelleの回答で言及されており、以前に知られている最大クラスのいくつかに優先します。 特に、フリーはIS-easy subsumes（P 5、cricket）-free、（P 5、K n 、n）-free、（P 5、X 82、X 83）-free、および（P 5、家）-すべてはISで簡単です。P5P5P_5P5P5P_5P5P5P_5Kn,nKn,nK_{n,n}P5P5P_5X82X82X_{82}X83X83X_{83}P5P5P_5 これは、最大5つの頂点を持つ単一の禁止誘導サブグラフによって定義されるすべての遺伝グラフクラスが、ISイージーまたはISイージーでないと明確に分類できることを意味します。 残念ながら、フリーグラフがIS-easyクラスを形成するという証明は、P 6フリーグラフでは機能しないようです。そのため、次のフロンティアは、単一の6頂点グラフで定義されるすべての遺伝グラフクラスを分類することです。P5P5P_5P6P6P_6 私は特にフォームのIS-簡単なクラスに興味ままいくつかのコレクションのためのフリーX無限に多くの同型クラスとグラフの、まだどこYのフリーではありませんIS-簡単に任意のためのY ⊂ X。XXXXXXYYYY⊂XY⊂XY \subset …
2
なぜ「トポロジカルソート」がトポロジカルなのですか？
「トポロジカルソート」が「トポロジカル」と呼ばれるのはなぜですか？それは、頂点やエッジを変更せずに順序を決定しているというだけの理由ですか？ドーナツとコーヒーカップはトポロジー的に同等ですか？なぜ「依存ソート」などと呼ばれないのですか？なぜ「トポロジカル」なのですか？私は不思議に思っています。
1
グラフの色付けの複雑さ
がカラーリング数d = χ （G ）のグラフであると仮定します。アリスとボブの間の次のゲームを考えてみましょう。各ラウンドで、アリスは頂点を選択し、ボブはこの頂点に対して{ 1 、… 、d − 1 }の色で答えます。単色のエッジが検出されると、ゲームは終了します。ましょX （Gが）両方のプレイヤーによって最適なプレイの下でゲームの最大の長さ（アリスはできるだけゲームを短くしたい、ボブはできる限りそれを遅らせるために望んでいます）。たとえば、X （K n）= nGGGd=χ(G)d=χ(G)d = \chi(G){1,…,d−1}{1,…,d−1}\{1,\ldots,d-1\}X(G)X(G)X(G)X(Kn)=nX(Kn)=nX(K_n) = nおよび。X(C2n+1)=Θ(logn)X(C2n+1)=Θ(log⁡n)X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) このゲームは知られていますか？
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.