スペクトルグラフ理論によってのみ得られた証明

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スペクトルグラフ理論への関心が高まっており、それが魅力的だと感じており、これまでよりも徹底的に読んでいないドキュメントをいくつか収集し始めました。

しかし、いくつかの情報源（たとえば、向こう）に現れた声明には興味があります。本質的には、グラフ理論の結果の一部はスペクトルベースの手法のみを使用して証明されており、今のところ、これらの手法をバイパスすることは知られています。

これをスキップしない限り、これまで読んだ文献でそのような例を目にしたことを思い出せません。そのような結果の例を知っていますか？

質問のタイトルは、スペクトルグラフ理論を使用してのみ得られる証明を求めているが、これまでスペクトルグラフ理論によってのみ得られていた証明を求めていることを示唆しています。これらは、まったく異なる2つの質問です。現状では、タイトルは誤解を招きやすいため、変更しました。

— デイブクラーク

@Dave私はロールバックしました

— スレシュヴェンカト

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Cvetković、Doob、SachsによるSpectra of Graphsの第7章では、スペクトルの明示的な言及はないが、スペクトル技術を使用して証明できる定理の例を多数示しています。私の推測では、これらの多くには既知の非スペクトル証明がありませんが、ケースバイケースでこれを検証する必要があります。確かに多くの場合、最も単純または最も自然な証明はスペクトルを使用します。

— ティモシーチャウ

@Timothy Chow：ありがとう、手に入れようと思います。

— アンソニーラバレー

@TimothyChow：これを答えにするべきだと思う。

— スレシュヴェンカト

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ホフマン・シングルトンの定理。

— コリン・マッキーラン
ソース

ホフマン・シングルトンも私の最初の考えでした。しかし、スペクトル以外の証明が存在するかどうか、それが難しすぎるか、誰も試したことがないためかどうかはわかりません。標準的な証明は非常に簡潔で簡潔なので、非スペクトル証明を取得する動機が何であるかはわからない。

— ムム

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量子コンピューティングでこの結果はどうですか。

マリオ・セゲディ。マルコフ連鎖ベースのアルゴリズムの量子高速化。FOCS'04。

彼はマルコフ連鎖を量子マルコフ連鎖に拡張し、量子ヒット時間は古典的ヒット時間の平方根によって上限があることを示しています。彼は、古典的マルコフ連鎖の特異ベクトルを量子マルコフ連鎖の特異ベクトルに関連付けることでこれを行います。この論文の前は、ランダムウォークと量子ウォークの間に関係は知られていませんでした。非スペクトル技術を使用して同じことを行う方法を想像することはできません。

— マルコス・ヴィラグラ
ソース

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厳密に言えば、固有値を回避する友情定理の証明が現在存在しているにもかかわらず、友情定理（Hunekeの論文も参照）は良い例だと思います。固有値を完全に回避する証明は、スペクトル証明よりもはるかに厄介です。

（友情の定理によれば、人の部屋に、すべての人のペアに共通の友人が1人だけいる場合、他の全員を知っている人がいます。）

— ティモシーチョウ
ソース

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

{バツ}^{T} L_{H} バツ （ 1 - ϵ ） \leq {バツ}^{T} L_{G} バツ \leq {バツ}^{T} L_{H} バツ （ 1 + ϵ ） 。

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

定理の記述は議論の余地なく「本質的にスペクトル」ではありませんが、スペクトル手法を使用せずにこの結果またはそのような結果を得る方法は知られていないと思います。

— レフ・レイジン
ソース

ステートメントが本質的にスペクトルではないかどうかについては、少し議論の余地があります。文字通りの意味では、あなたは正しいですが、二次形式が現れる理由について考えることができる唯一の理論的根拠はスペクトルです。

— スレシュヴェンカト

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F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

もちろん-しかし、これらのスパーシファイアを別の方法で取得することは想像できます。しかし、はい、これは最良の例ではないかもしれません...

— レフレイジン