多項式時間で最大の独立集合を見つけることができる最大クラス？

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ISGCIグラフの1100クラス以上のリスト。これらの多くについては、多項式時間で独立集合を決定できるかどうかがわかります。これらはIS-easyクラスと呼ばれることもあります。最大の IS-easyクラスのリストをコンパイルしたいと思います。これらのクラスが一緒になって、この問題の（既知の）扱いやすさの境界を形成します。

ISが簡単な無限クラスに有限の数のグラフを追加するだけで、扱いやすさに影響を与えないため、いくつかの制限があります。クラスを遺伝性のものに制限しましょう（誘導サブグラフの取得、または同様に、除外された誘導サブグラフのセットによって定義される）。さらに、説明が小さいセットXに対してXフリーであるファミリのみを考えてみましょう。そこ~~かもしれません~~ されても可能なように扱いやすいクラス（の無限の昇順チェーン $(P,\text{star}_{1,2,k})$ -freeおよび以下のDavid Eppsteinによって説明されているクラス）、しかし、IS-easyであることが実際に証明されているクラスに注意を制限しましょう。

私が知っているものは次のとおりです。

他のそのような最大クラスは知られていますか？

編集：除外された未成年者によって定義されたクラスを扱うYaroslav Bulatovが尋ねた関連する質問も参照してください。遺伝クラスのグローバルプロパティを参照してください。より一般的な質問については、以前に遺伝クラスについて質問しました。

Jukka Suomelaがコメントで指摘しているように、マイナーな除外されたケースも興味深い（そして興味深い質問をするでしょう）が、これはここでの焦点ではありません。

Davidの例を回避するために、Xのすべてのグラフが独立した頂点を持つわけではない、Xフリーグラフとして最大クラスも定義できる必要があります。

以下の回答にあるクラス：

りんごなし（StandaŽivný推奨）
（、house）-free $P_5$ （David Eppsteinにより提案）
（爪）フリー $K_2 \cup$ （デイビット・エップスタインによって示唆）

2013-10-09を追加しました： Lokshtanov、VatshelleおよびVillangerによる最近の結果は、Martin Vatshelleの回答で言及されており、以前に知られている最大クラスのいくつかに優先します。

特に、フリーはIS-easy subsumes（、cricket）-free、（、）-free、（、、）-free、および（、家）-すべてはISで簡単です。 $P_5$ $P_5$ $P_5$ $K_{n,n}$ $P_5$ $X_{82}$ $X_{83}$ $P_5$

これは、最大5つの頂点を持つ単一の禁止誘導サブグラフによって定義されるすべての遺伝グラフクラスが、ISイージーまたはISイージーでないと明確に分類できることを意味します。

残念ながら、フリーグラフがIS-easyクラスを形成するという証明は、フリーグラフでは機能しないようです。そのため、次のフロンティアは、単一の6頂点グラフで定義されるすべての遺伝グラフクラスを分類することです。 $P_5$ $P_6$

私は特にフォームのIS-簡単なクラスに興味ままいくつかのコレクションのためのフリー無限に多くの同型クラスとグラフの、まだどこフリーではありませんIS-簡単に任意のための。 $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

— アンドラス・サラモン
ソース

1

制限されたツリー幅のグラフはどうですか？あなたが言及したクラスのいずれかにすでに含まれていると思いますか？

— ユッカスオメラ

@Jukka：私が知る限り、除外された誘導サブグラフの小さなセットでは、境界付きのツリー幅をキャプチャすることはできません。たとえば、treewidth 2は

-minor-freeです。これにより、除外された誘導サブグラフの無限のセットが生成されます。一方、「部分的なkツリー」は「小さな」記述として十分に資格を得る可能性があります。どう思いますか？

K_{4}

$K_4$

— アンドラスサラモン

ás：ああ、あなたの質問を十分に読んでいないようです。禁じられた未成年者という点で特徴づけられるグラフ族にも興味があると思いました。

— ユッカスオメラ

DOES

フリー格？そのようなグラフにはFEW独立セット（正確には

）しかありません。

2 K_{2}

$2K_2$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-Chih Chang：Balas-Yuクラスについて言及してくれてありがとう、それを忘れていました。はい、それは確かに関連する答えを作るでしょう。

— アンドラスサラモン

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質問はすでに少し古いですが、ISGCIはここでいくらか助けになります。

ISGCI Javaアプリケーションを起動し、メニューの[問題]-> [境界/開くクラス]-> [独立セット]に移動すると、3つのリストを含むダイアログが表示されます。

リストMaximal Pには、ISが多項式時間で解くことができるすべてのクラスC（ISGCI内）が含まれているため、ISがPにあることがわかっていないCの最小スーパークラス（NP完全、オープン、またはISGCIに不明）。クラスを選択して[描画]をクリックすると、ISがPに含まれていることがわかっていないクラスを見つけるために必要な範囲で、BFSスタイルの包含階層を上にたどって見つかったクラスとスーパークラスが描画されます。

最小NP完全リストは逆になります。ISがNP完全なクラスが含まれているため、すべての最大サブクラスがNP完全ではありません。図面は、NPが完全ではないクラスが見つかるまで、階層を下っていきます。

オープンリストには、問題がオープンまたは不明のクラスが含まれます。描画は、開いていないクラスに到達するまで、スーパー/サブクラスをウォークスルーします。

図面を作成するときは、色を独立集合問題に設定することをお勧めします（問題->問題の色->独立集合）。

Standa Zivnyの質問に関して、ISGCIには次の20のクラスがリストされており、非加重IS問題の既知の複雑さはありますが、重み付きケースの複雑さは不明です（ISGCIは「単純」と「複雑な」多項式アルゴリズムを区別できません）：

gc_11拡張P _4-負荷
gc_128 EPT
gc_415よく覆われた
gc_428（K _3,3 -e、P ₅、X ₉₈）-
無料gc_648（K _3,3 -e、P ₅）-
無料gc_752 co-hereditary clique-Helly
gc_756 （E、P）-free
gc_757（P、T ₂）-free
gc_758（P、P ₈）-free
gc_759（K _3,3 -e、P ₅、X ₉₉）-free
gc_808（C ₆、K _{3 3} + e、P、P ₇、X ₃₇、X ₄₁）
フリーgc_811（P、star_1,2,5）フリー
gc_812（P ₅、P ₂ ∪P ₃）フリー
gc_813（P、P ₇）フリー
gc_818（P、星_1,2,3）フリー
gc_819（P、星_{1 2,4}）
フリーgc_841（2K ₃ + e、A、C ₆、E、K _3,3 -e、P ₆、R、X ₁₆₆、X ₁₆₇、X ₁₆₉、X ₁₇₀、X ₁₇₁、X ₁₇₂、 X ₁₈、X ₄₅、X ₅、X ₅₈、X ₈₄、X ₉₅、X₉₈、A、C ₆、E、P ₆、R、X ₁₆₆、X ₁₆₇、X ₁₆₉、X ₁₇₀、X ₁₇₁、X ₁₇₂、X ₁₈、X ₄₅、X ₅、X ₅₈、X ₈₄、X ₉₅、 X ₉₈、アンテナ、コアンテナ、
コドミノ、コフィッシュ、コツインハウス、ドミノ、魚、ツインハウス）- 無料gc_894共円形パーフェクト
gc_895強く円形のパーフェクト
（3K ₂、E、P ₂ ∪P ₄、net）-free

間違いなく、これらの多くは、重み付けされたケースのための既知のアルゴリズムを持っているでしょう。ISGCI Webページに記載されているアドレスで、追加や修正をいつでも歓迎します！

— エルンスト・デ・リダー
ソース

最大の扱いやすいクラスを見つけるためのJavaアプリケーションの機能へのポインターと、重み付きケースが開かれているクラスのリストに感謝します。そしてもちろん、ISGCIでの作業に感謝します！

— アンドラスサラモン

12

興味深い論文は次のとおりです。

A.ブランドシュタット、VVロジン、R。モスカ：アップルフリーグラフの独立した最大重みセット、SIAM Journal on Discrete Mathematics 24（1）（2010）239–254。土井：10.1137 / 090750822

リンゴの無限クラスは、それぞれが茎を持つサイクルC_k、k> = 5として定義されます。

IS-easinessの概念に加重IS問題が含まれているかどうかは言及しません。椅子のないグラフ（別名フォークのないグラフ）は、IS-easyであることが知られています：

VE Alekseev、フォークなしのグラフで最大の独立集合を見つけるための多項式アルゴリズム、Discrete Applied Mathematics 135（1-3）（2004）3–16。doi：10.1016 / S0166-218X（02）00290-1

重み付きケースの扱いやすさは重要な拡張です。以下を参照してください。

VV Lozin、M。Milanic：フォークなしグラフで最大重みの独立したセットを見つける多項式アルゴリズム、Journal of Discrete Algorithms 6（4）（2008）595–604。doi：10.1016 / j.jda.2008.04.001

重み付けされたIS問題が、重み付けされていない場合よりもはるかに困難/扱いにくい/未解決である他の（興味深い）クラスはありますか？

— スタンダ・ジヴニー
ソース

1

興味深い質問は、個別に投稿する価値があるかもしれません。

— アンドラスサラモン

リンゴの定義では、k≥4を意味しますよね？

— デビッドエップスタイン

はい、k> = 4、タイプミスでごめんなさい。

— スタンダジブニー

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Vassilis GiakoumakisとIrena Rusu、ディスクによると。適用数学。1997年、（P5、house）-free graph（別名（P5、coP5）-free graph）はIS-easyです。

ISGCIからV. Lozin、R。Mosca Discにクレジットされた別の1つ。適用数学。2005年は、（K2 u claw）フリーグラフのファミリーです。

扱いやすいクラスの無限の昇順チェーンがある場合もあります

無限の昇順チェーンは間違いなくあります。Hが、HフリーグラフがIS-easyであるグラフの有限集合である場合、H 'をHの各グラフに独立した頂点を追加して形成されたグラフとします。H'-freeグラフもIS-easyです。 Hフリーアルゴリズムを各頂点の非隣接のセットに適用するだけです。ISGCIで説明するよう例えば、CO-GEM-freeグラフはあるIS-IS簡単-簡単です共同宝石はP4プラスの独立頂点とP4-freeグラフであるという理由で。そのため、禁止されたサブグラフのすべてが独立した頂点を持つわけではない最大クラスに質問を制限したいでしょう。

— デビッド・エップシュタイン
ソース

追加のクラスと、無限チェーンの簡単な構築を強調してくれてありがとう！言い換える。

— アンドラスサラモン

だから、また、爪のないグラフを、独立したセット上のWikipediaのエントリごとに：en.wikipedia.org/wiki/...

— gphilip

3

@gphilip：クローフリーは、チェアフリーと（K2 uクロー）フリーの両方に含まれています。

— デビッドエップスタイン

8

$P_5$

Hを最大5つの頂点のグラフとすると、独立集合の複雑さはHフリーグラフのクラスで知られています。

$P_5$ $H = P_2 \cup P_3$

— マーティン・ヴァットシェル
ソース