タグ付けされた質問 「graph-theory」

場合無向である -regularグラフ及びカーディナリティの頂点のサブセットである、呼び出しエッジ膨張の量をD S ≤ | V | / 2G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ（S）：=Edges（S、V−S）d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ここで、内の1つのエンドポイントとエッジの数であり、とで一方のエンドポイント。そして、拡張エッジの問題は、設定された見つけることですで最小にする。最適セットの展開と呼びます。A BEdges(A,B)Edges（A、B）Edges(A,B)AAABBB| S | ≤ | V | / 2 ϕ （S ）ϕ （G ）SSS|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)ϕ(G)ϕ(G)\phi(G) スペクトル分割アルゴリズムエッジ拡張の問題のためには、固有ベクトル見つけることによって動作しの二番目に大きい固有値のの隣接行列、およびすべての``しきい値セット「」考慮形のすべてのしきい値を超える。我々が許可すればの二番目に大きい固有値であるマトリックス、最良の閾値を設定することをスペクトル分割アルゴリズムショーの分析アルゴリズムを満足することにより見出さA G S { V ：X （V ）≤ T } T λ …

27 ds.algorithms  graph-theory  ho.history-overview  expanders  spectral-graph-theory 

ツリー幅が最大であるため、一般的なグラフの指数関数的ないくつかのNP困難な問題は、平面グラフ上の準指数ですそして、それらはツリー幅で指数関数的です。4.9 | V（G ）|−−−−−−√4.9|V(G)|4.9 \sqrt{|V(G)|} 基本的に、NP完全なPLANAR SATの準指数アルゴリズムがあるかどうかに興味があります。 ましょう変数のCNF式でありxはIと I番目の句であるcは、I。ϕϕ\phiバツ私xix_i私iic私cic_i 入射グラフのp。5 のφは、頂点にあるV （G ）= { X I } ∪ { C I } とエッジ（X I、C I） IFF X I ∈ C Iまたは¬ X I ∈ C I。GGGϕϕ\phiV（G ）= { x私} ∪ { c私}V(G)={xi}∪{ci}V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}（x私、c私）(xi,ci)(x_i,c_i)バツ私∈ C私xi∈cix_i \in c_i¬ X私∈ C私¬xi∈ci\lnot x_i …

26 graph-theory  sat  reductions 

すべての最大独立セットが同じカーディナリティを持ち、したがって最大ISであるというプロパティを持つグラフのクラスについて何かが知られていますか？ たとえば、平面内のポイントのセットを取得し、セット内のポイントのペア間のすべてのセグメント間の交差のグラフを検討します。（セグメント->頂点、交差点->エッジ）。すべての最大ISは元のポイントセットの三角形分割に対応するため、このグラフには上記のプロパティがあります。このプロパティを持つことが知られている他のカテゴリのグラフはありますか？このプロパティは簡単にテストできますか？

26 graph-theory  co.combinatorics 

次のように我々は加重着色料をカウントすることにより、適切な着色料を数えるの問題を緩和と仮定します。すべての適切な着色は体重1取得し、すべての不正発色が体重取得、いくつかの定数であり、同じ色に着色されているエンドポイントとエッジの数です。 0になり、これは、多くのグラフのために懸命にある適切な着色料を数えるに低減します。cが1の場合、すべての色は同じ重みを取得し、問題は簡単です。を乗算したグラフの隣接行列のスペクトル半径が未満の場合cvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon、この合計は収束保証付きの信念伝播によって近似できるため、実際には簡単です。特定の計算ツリーは相関の減衰を示し、したがって保証された近似のための多項式時間アルゴリズムを可能にするため、理論的にも簡単です-Tetali、（2007） 私の質問は、グラフの他のどのような特性がローカルアルゴリズムにとってこの問題を難しくしているのでしょうか？わずかな範囲のしか対処できないという意味で難しい。ccc 編集09/23：これまでのところ、このクラスの問題に対して2つの決定論的多項式近似アルゴリズム（WeitzのSTOC2006論文の派生物と、近似計算のためのGamarnikの「キャビティ拡張」アプローチの派生物）に遭遇しました。グラフ上を歩くことを避けます。スペクトル半径は、この分岐係数の上限であるために上がります。質問はそれです-それは良い見積もりですか？自己回避歩行の分岐因子が制限され、通常の歩行の分岐因子が制限なく成長する一連のグラフを作成できますか？ 編集 10/06 ：Allan Slyによるこの論文（FOCS 2010）は関連性があるようです...結果は、自己回避歩行の無限ツリーの分岐因子が、カウントが困難になるポイントを正確にキャプチャすることを示唆しています。 編集10/31：アラン・ソカル予想（「多変量トゥッテ多項式」のp.42）は、maxmaxflow（最大st flow over）に関して線形である色彩多項式のゼロのない領域の半径に上限があることすべてのペアs、t）。適切な色の数が0に近づくと、長距離の相関関係が現れるため、これは関連しているようです。

26 graph-theory  approximation-algorithms  approximation-hardness  counting-complexity  graph-colouring 

Szemerediの正則性補題は、すべての密なグラフは多くの2部展開グラフの和集合として近似できると述べています。より正確には、ほとんどの頂点のセットへのパーティションがあり、セットのほとんどのペアが2部展開器を形成します（パーティション内のセットの数と展開パラメーターは近似パラメーターに依存します）。O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma 「良好な」スパースグラフ用のこの補題には、次のようなバージョンがあります。 http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf これらの定式化について私が驚いたのは、パーティション内のセットのほとんどのペアが二部エキスパンダーを形成することだけを保証し、これらの二部エキスパンダーが空であることです。そのため、一般的なスパースグラフでは、頂点のパーティション内の異なる部分間のすべてのエッジがエキスパンダーに属していない可能性が非常に高くなります。 パーツ間のほとんどのエッジがエキスパンダーからのものであることを示す定式化があるのか​​、それともそのような定式化の希望がないのだろうか。

25 graph-theory  co.combinatorics  expanders 

結果ロバートソンとシーモアが実証固定されたグラフかどうかを試験するためのアルゴリズムをGはマイナーである。このトピックに関する2つ半の質問があります。O （n3）O（n3）O(n^3)GGGHHH 1）それ以来、このアルゴリズムに改善があったようです。現在最も有名なアルゴリズムは何ですか？ 2a）人々は何が最適な範囲であると推測していますか？ 固定面に埋め込むためのMoharのアルゴリズムと認識するための河原林のアルゴリズム -apexグラフはkkk、線形時間で禁じられて未成年者で特徴付けグラフのメンバーシップを決める最後の質問をやる気に： 2b）これを線形時間で行えると疑う理由はありますか？ もちろん、誰かが既に線形時間アルゴリズムを考え出した場合、最後の2つの質問はばかげています。:)

25 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-algorithms 

通常、グラフを作成してから、隣接行列（またはラプラシアンのような近親）固有値分解（グラフのスペクトルとも呼ばれます）について質問します。 しかし、逆の問題はどうですか？固有値が与えられた場合、このスペクトルを持つグラフを（効率的に）見つけることができますか？nnn 私は一般的にこれを行うのは難しいと思います（そしてGIと同等かもしれません）が、いくつかの条件を少し緩和するとどうなりますか？固有値の多重度がないという条件を作成するとどうなりますか？距離メトリックによって「近い」スペクトルを持つグラフを許可するのはどうですか？ 任意の参照またはアイデアを歓迎します。 編集： Sureshが指摘しているように、自己ループを持つ無向の重み付きグラフを許可すると、この問題は非常に簡単になります。私は、無向、無加重の単純なグラフのセットで答えを得たいと思っていましたが、単純な無加重の有向グラフにも満足しています。

25 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  spectral-graph-theory 

最近、エキスパンダーを教え、ラマヌジャングラフの概念を紹介しました。マイケル・フォーブスはなぜこのように呼ばれているのかと尋ねましたが、私にはわかりません。誰でも？

25 graph-theory  soft-question  ho.history-overview  expanders 

次の問題の複雑さは研究されていますか？ 入力：次（または3正則）グラフG = （V 、E ）、自然な上限t333G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)ttt 質問：のパーティションがあるには| E | / 3サイズの部分3（nonnecessarily接続された）対応する部分グラフの注文の合計が最大であるように、T？EEE| E| / 3|E|/3|E|/3333ttt 関連作業 3つのエッジを含むいくつかのグラフへのパーティション の存在に必要な条件および/または十分な条件を証明する論文をかなり見つけました。上記（例えば、パーティションが同型サブグラフ得なければならない又はP 4、およびNO量を特定のパーティションに関連付けられていない）が、それらのいずれも上記問題に正確に対処しません。K1 、3K1,3K_{1,3}P4P4P_4 ここにすべてのそれらの論文をリストするのは少し退屈ですが、それらのほとんどは引用するか、DorとTarsiによって引用されています。 20101024：Goldschmidtらによるこの論文を見つけました。は、誘導されたサブグラフの次数の合計が最大でtになるようにグラフをAT MOST エッジを含む部分に分割するエッジの問題が、k = 3であってもNP完全であることを証明します。厳密な等式wrt kが必要な場合、問題が3次グラフでNP完全なままであることは明らかですか？kkktttk=3k=3k=3kkk 追加情報 失敗したいくつかの戦略を試しました。より正確には、次のことを証明する反例が見つかりました。 三角形の数を最大化しても、最適な解決策にはなりません。三角形は、3つのエッジ上のすべての可能なグラフの中で最も低い順序のサブグラフであるため、なんとなく直観に反しています。 グラフを接続されたコンポーネントに分割しても、必ずしも最適なソリューションになるとは限りません。有望と思われた理由はそれほど明白ではないかもしれませんが、多くの場合、特定のサブグラフを接続するためにエッジを交換すると、重みが小さいソリューションにつながることがわかります（例：それぞれに接続された1つの追加エッジを持つ三角形でそれを試してください頂点;三角形は1つの部分で、残りは2番目で、総重量は3 + 6 = 9です。2つのエッジを交換すると、パスと星ができ、総重量は4 + 4 = 8です。）

25 graph-theory  np-hardness  co.combinatorics 

再構成予想では、グラフ（少なくとも3つの頂点を持つ）は、頂点が削除されたサブグラフによって一意に決定されます。この推測は50年前のものです。 関連する文献を検索すると、次のクラスのグラフが再構築可能であることがわかっています。 木 切断グラフ、補数が切断されたグラフ 正則グラフ 最大外部平面グラフ 最大平面グラフ 外平面グラフ クリティカルブロック 終了頂点のない分離可能なグラフ 単環グラフ（1サイクルのグラフ） 非自明なデカルト積グラフ 木の正方形 二度グラフ 単位間隔グラフ しきい値グラフ ほぼ非周期的なグラフ（つまり、Gvは非周期的） サボテングラフ 頂点が削除されたグラフの1つがフォレストであるグラフ。 最近、部分的な2ツリーの特殊なケースが再構築可能であることを証明しました。部分的な2ツリー（別名、直並列グラフ）が再構築可能であることが知られているかどうか疑問に思っています。部分的な2ツリーは、上記のカテゴリのいずれにも該当しないようです。 上記のリストの他の再構築可能なグラフのクラスがありませんか？ 特に、部分的な2ツリーは再構築可能であることがわかっていますか？

24 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  treewidth 

二部グラフで完全な一致の数を数えることは、パーマネントを計算するためにすぐに削減できます。非二部グラフで完全な一致を見つけることはNPにあるため、非二部グラフからパーマネントへのいくつかの縮約が存在しますが、SATへのクックの縮約を使用し、次にヴァリアントの定理を使用して、永久的。 非二部グラフGからパーマ（A ）= Φ （G ）のマトリックスA = f （G ）への効率的で自然な縮約は、既存の高度に最適化されたものを使用して完全なマッチングをカウントする実際の実装に役立ちますパーマネントを計算するライブラリ。fffGGGA = f（G ）A=f（G）A = f(G)パーマ（A ）= Φ （G ）パーマ⁡（A）=Φ（G）\operatorname{perm}(A) = \Phi(G) 更新：同じ数の完全一致でO （n 2）個以下の頂点を持つ任意のグラフを2部グラフHに取る効率的に計算可能な関数を含む回答の報奨金を追加しました。GGGHHHO（n2）O（n2）O(n^2)

24 graph-theory  counting-complexity  reductions  permanent 

Hからそれ自体への準同型が全単射である場合、グラフHはコアです。Hがコアであり、GからHへの準同型がある場合、GのサブグラフHはGのコアです 。http：//en.wikipedia.org/wiki/Core_%28graph_theory%29 グラフGが与えられた場合、そのコアを見つけるための最もよく知られている正確なアルゴリズムは何ですか？

24 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms 

「良い」「スペース効率の良い」アンバランスなエキスパンダーを探しています。具体的には、2部構成の左正規グラフ、| A | = n、| B | = M左度と、であるいずれかの場合-expander高々サイズのの異なる近隣の数における少なくともある。確率的手法では、次のようなグラフが得られることが知られています。G = （A 、B 、E）G=(A,B,E)G=(A,B,E)| A | =n|A|=n|A|=n| B | =m|B|=m|B|=m（K 、ε ）S ⊂ A K S B （1 - ε ）D | S | d = O （log （n / k ）/ ϵ ）ddd（k 、ϵ ）(k,ϵ)(k,\epsilon)S⊂ AS⊂AS \subset AkkkSSSBBB（1 − ϵ …

24 graph-theory  derandomization  expanders 

ハミルトニアンサイクルが平面（Garey、Johnson、およびTarjan、SIAM J. Comput。1976）または2部（秋山、西関、および斉藤、J。Inform。Proc。1980）または、ヨルダン曲線の配列によって形成されたグラフであっても、4規則グラフにハミルトニアンサイクルが存在するかどうかをテストする（Iwamoto and Toussaint、IPL 1994）。 k正則グラフのハミルトニシティをテストするためにNP完全であることが知られている他のkはどれですか？ 私が興味を持っている特定のケースは、6個の正規グラフで、グラフに頂点の数が奇数であるという追加条件があります。このケースがNP完全（または多項式）であると示される場合、http：//arxiv.org/abs/1009.0579で説明されているグラフ描画の問題に影響があります。「奇数の頂点」条件は、6正規グラフの場合、グラフにハミルトニアンサイクルまたは2部2因子のどちらが含まれているかを本当に知りたいからです。ただし、頂点の数が奇数であると、2部2因子の可能性が排除され、ハミルトニアンサイクルの可能性のみが残ります。

24 graph-theory  np-hardness  hamiltonian-paths 

多くの重要なグラフパラメーターが、少なくともある確率の範囲でランダムグラフに（強い）集中を示すことはよく知られています。いくつかの典型的な例は、色数、最大クリーク、最大独立集合、最大一致、支配数、固定部分グラフのコピー数、直径、最大次数、選択番号（リストの色付け番号）、Lovasz -number、ツリー幅です。などθθ\theta 質問：例外、つまり、ランダムグラフに集中していない意味のあるグラフパラメーターはどれですか。 編集。 濃度の可能な定義はこれです： してみましょう上のグラフのパラメータである -vertexランダムグラフ。私たちは、それが呼び出す集中すべてのためならば、、それが保持している 確率が指数関数的に1に近づくと、 集中度は強くなります。ただし、異なる間隔で強いが使用されることもあります。これは、収束が縮小間隔で真実のままであり、非常に狭い範囲になる可能性があるという事実を示しています。たとえば、x_nに関するが最小限度であり、その後、エッジ確率のいくつかの範囲についてP、一方が証明することができ XnXnX_nnnnϵ>0ϵ>0\epsilon>0limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.limn→∞Pr((1−ϵ)E(Xn)≤Xn≤(1+ϵ)E(Xn))=1.\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.XnXnX_nppplimn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1limn→∞Pr(⌊E(Xn)⌋≤Xn≤⌈E(Xn)⌉)=1\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1 は可能な限り最短の間隔です（次数として）整数ですが、期待される値はそうでないかもしれません）。 注：集中ルールから人為的な除外を構築できます。たとえば、グラフのエッジの数が奇数の場合はXn=nXn=nX_n=n、そうでない場合は0とします。これは明らかに集中していませんが、意味のあるパラメーターとは考えません。

23 graph-theory  pr.probability  random-graphs