逆グラフスペクトル問題？

通常、グラフを作成してから、隣接行列（またはラプラシアンのような近親）固有値分解（グラフのスペクトルとも呼ばれます）について質問します。

しかし、逆の問題はどうですか？固有値が与えられた、このスペクトルを持つグラフを（効率的に）見つけることができますか？ $n$

私は一般的にこれを行うのは難しいと思います（そしてGIと同等かもしれません）が、いくつかの条件を少し緩和するとどうなりますか？固有値の多重度がないという条件を作成するとどうなりますか？距離メトリックによって「近い」スペクトルを持つグラフを許可するのはどうですか？

任意の参照またはアイデアを歓迎します。

編集：

Sureshが指摘しているように、自己ループを持つ無向の重み付きグラフを許可すると、この問題は非常に簡単になります。私は、無向、無加重の単純なグラフのセットで答えを得たいと思っていましたが、単純な無加重の有向グラフにも満足しています。

— user834
ソース

質問を「自己ループのない無向無向グラフ」またはそのようなものに変更する必要があると思いますか？必要な固有値を持つ対角行列を構築し、それが重み付き自己ループを持つ切断グラフであることを宣言することを想像できますか？

— スレシュヴェンカト

さらに簡単な質問（私は答えを知っていない）は、その上位のいくつかの固有値が与えられている、単純な連結グラフを構築する方法です

— ヤロスラフBulatov

質問（単純な無向グラフのバージョン）を述べる別の方法は次のとおりです：n個の実数（ある形式）が与えられ、n個の固有値が与えられた番号。

— 伊藤剛

@Yaroslav：よくわかりませんが、n個の固有値がすべて与えられた場合よりも、この問題は私には難しいようです。

— 伊藤剛

小型観測：この意志は57-定期的に（非）の存在を意味するので、我々は、固有値には制限がない場合、問題は本当に難しいです（でも、アルゴリズムの一部が含まれていませ）ムーアグラフ固有値がすべての知られています、。

— Hsien-Chih Chang張顯之

回答:

すべての「グラフスペクトルの理論における最近の結果」のセクション3.3でCvetcovicらは乗り越えて、いくつかの特別な場合には、スペクトル与えられたグラフを構築するためのアルゴリズム

— ヤロスラフ・ブラトフ
ソース

特定のスペクトルを持つグラフが存在するかどうかを尋ねるのは難しい質問です。これは、スペクトル（存在する場合）が既知である、胴回り5直径2および次数3250のグラフが存在するかどうかを判断するという未解決の問題によって目撃されます。

— ジェルネイ
ソース

質問を定義する上でのもう1つの障害は、それらがアイソスペクトル（同じ固有値）であるが、非同型グラフであることです。そのような場合の固有値のリストが与えられた場合、どのグラフが必要ですか？たぶん、そのような非同型グラフのセットの1つのランダムな要素を返すアルゴリズムだけが必要ですか？

— ダバコン
ソース

私はアイソスペクトルのグラフの空間からサンプリングの線に沿って何かを考えていましたが、これはGIと同等の問題にすぐに降りかかっているようです（したがって、上記の私のコメント）。簡単にするために、すべての個別の固有値に制限できます（IICが一意のグラフを保証する場合）。しかし、私は実際に既知またはそこにあるものを見ようとしています。

— user834

明確な固有値が再構成可能性を保証するとは思わない。ここに、7つのノード上の等スペクトルグラフのスペクトルがありますyaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— ヤロスラフ

ランダム要素の定式化が好きです。GIと同等かどうか知りたいです。ランダム要素の定式化に興味を持っている理由の1つは、特定のスペクトルを持つグラフが小さなセットのエキスパンダーになれるかどうかという、独自のゲームに関するAroraとSteurerの論文で提起された質問です。直観的には、このスペクトルを持つランダムグラフが、すべてのセットサイズに対して可能な限り最高のエキスパンダーになることを期待できます。そのため、逆スペクトルに関する洞察が役立つ可能性があります。

— ボアズバラク

@Yaroslav：そのリンクをありがとう、私を修正してくれてありがとう！

— user834

@ user834：Re：GIと同等の問題についてのコメント。有界固有値多重度を持つグラフ（特に、複数の固有値を持たないグラフ）の同型を決定することは、多項式時間で実行できることに注意してください。

— ジョシュアグロチョウ