タグ付けされた質問 「graph-theory」

定数を、一方は入力グラフが与えられると、線形時間で決定することができるGそのかどうか、ツリー幅がある≤ K。ただし、kとGの両方が入力として与えられる場合、問題はNP困難です。（ソース）。k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGG≤k≤k\leq kkkkGGG ただし、入力グラフが平面の場合、複雑さについてはあまり知られていないようです。問題が明らかにされたオープンし、2010年にもに登場請求この調査 2007年とに分岐分解のためのWikipediaのページを。反対に、前述の調査の以前のバージョンでは、問題はNPハード（参照の証明なし）であると主張されていますが、これはエラーだと思います。 問題の複雑さを決定することがまだ開いている、所与と平面グラフGは、決定のGをツリー幅有する≤ K？もしそうなら、これは最近の論文で主張されましたか？部分的な結果はわかっていますか？そうでない場合、誰がそれを解決しましたか？k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k

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グラフのチーガー定数を決定することは -hard であると、数え切れないほど多くの記事を読みました。それは民俗定理のように思えますが、この声明の引用も証拠も見つけたことがありません。誰にクレジットを与えるべきですか？古い論文（Isoperimetric Numbers of Graphs、J. Comb。Theory B、1989）で、Moharはこの主張を「複数のエッジを持つグラフについて」だけ証明しています。N PNP\mathsf{NP}

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私がどれだけ近いかを見つけることを試みている及びE [ T W （G ）]場合実際、あるG ∈ G （N 、P = C / N ） とC > 1は（そうNによらず一定でありますE [ t w （G ）] = Θ （n ））。私の推定では、t w （G ）≤t w （G ）tw(G)tw(G)E[ t w （G ）]E[tw(G)]E[tw(G)]G ∈ G （N 、P = C / N ）G∈G(n,p=c/n)G \in G(n,p=c/n)c > 1c>1c>1E[ …

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P = NPでない限り、場合、最大独立集合（MIS）は係数内で近似するのが難しいことがわかります。より良い近似アルゴリズムが知られているグラフの特別なクラスは何ですか？n1−ϵn1−ϵn^{1-\epsilon}ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0 多項式時間アルゴリズムが知られているグラフは何ですか？完全なグラフについてはこれが知られていますが、他に興味深いグラフのクラスはありますか？

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人々のセットを考えて、私はサイズテーブルで食事のシーケンスのために彼らを座らせたいです。（もちろん、食事ごとにすべてのを置くのに十分なテーブルがあります。）誰も同じ人とテーブルを2回共有しないようにこれを調整したいと思います。典型的な値はおよびおよび6〜10食です。k | S | | S | = 45 k = 5SSSkkk| S||S||S|| S| =45|S|=45|S|=45k = 5k=5k=5 より抽象的な方法で言えば、各パーティションがカーディナリティペアごとに素なサブセットと、2つのそのようなサブセット間の交差に含まれる要素が1つだけである追加のグローバルプロパティで構成されるのパーティションのシーケンスを見つけたいと思います。これはグラフの理論的または組み合わせの問題として定式化できると思います。KSSSkkk 私の領域の外にあるので、問題のより良い定式化と関連文献へのポインタに感謝します。 背景：これは、多くのコンピューター科学者が1週間にわたって研究を議論するために訪れるSchloss Dagstuhlの座席配置に使用できます。現在、座席はランダムに行われ、驚くことではないが、1週間にわたって同じ人と2回（またはより頻繁に）座っている人もいます。また、当然ながら、これについて苦情が寄せられ、これを改善する方法についてあいまいな提案が寄せられています。これをよく理解したいと思います。問題をより強力に定式化するには、隣同士に座っている人を最適化する必要がありますが、これはサイズ5のテーブルには関係ないと思います。 アプリケーション以外では、興味深い質問は、与えられたとに対して提供できる食事の最大数、つまりそのようなパーティションがいくつあるかです。KSSSkkk

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どちらもNP完全であるため、CLIQUEからk-Colorに明らかに減少しています。実際、CLISATから3-SATへの縮約と3-SATからk-Colorへの縮約を組み合わせて、1つを構成できます。私が疑問に思っているのは、これらの問題の間に合理的な直接的な減少があるかどうかです。SATのような中間言語を記述する必要なしに、友人にかなり簡単に説明できる削減。 私が探しているものの例として、逆方向の直接的な削減があります：nnnといくつかの（色の数）でGを与え、頂点（頂点ごとの色ごとに1つ）でグラフG 'を作成します。および（または）の場合にのみ頂点および色それぞれ対応する頂点、は隣接します。で-cliqueに頂点ごとに1つの頂点を有する、及び対応する色が適切であるの-coloringKのkkK N knknV ' v′v'U 'u′u'、V 、U v,uv, ucは、D c,dc, dV ≠ U v≠uv \neq uC ≠ D c≠dc \neq dV U ∉ G vu∉Gvu \not \in GN nnG 'G′G' G GGK kkGGG。同様に、適切なカラーリングには、対応するクリークがあります。k kkG GGG ′G′G' 編集：簡単な動機付けを追加するために、Karpの元の21個の問題は、CLIQUEとChromatic Numberが主要なサブツリーのルートを形成する縮小ツリーによってNP完全であることが証明されています。CLIQUEサブツリーとChromatic Numberサブツリーの問題の間には、いくつかの自然な減少がありますが、それらの多くは、私が尋ねているものと同じくらい見つけるのが難しいです。このツリーの構造が他の問題の根本的な構造を示しているか、それとも完全に最初に見つかった削減の結果であるかどうかをドリルダウンしようとしています。同じ複雑さのクラスにあることが知られています。確かに順序はある程度の影響があり、ツリーの一部は再配置できますが、任意に再配置できますか？ 編集2：私は直接削減を探し続けていますが、ここでは私が手に入れた最も近いもののスケッチです（有効な削減であるはずですが、CIRCUIT SATは明確な仲介者です。これがより良いかどうかは多少主観的です最初の段落で言及したように、2つの削減を構成します）。 与えられた場合、がk-クリークを持っている場合、はすべての色がTrueで、頂点で色にできることを知っています。Gの元の頂点にv_1、\ ldots、v_nという名前を付け、\ overline Gに追加の頂点を追加します。C_{ij}に1 \ le i …

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実際の問題に関連するグラフはどこにありますか？ 私が知っている2つのリポジトリは次のとおりです。 フロリダ大学のスパースマトリックスコレクション BodlaenderのTreewidthLib

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与えられたは一瞬です。各ノードに到達可能なノードの数で各ノードにラベルを付けます。は自明な上限です。は下限です（と思います）。より良いアルゴリズムはありますか？下限を改善できると信じる理由はありますか（関連：推移的閉包の下限について正確に知られていること）？O(V(V+E))O(V(V+E))O(V(V+E))Ω(V+E)Ω(V+E)\Omega(V+E) 動機：folフォーミュラをダグとして表現しながら、これを数回しなければなりませんでした。 編集：を実行するだけで、到達可能なノードではなくパスをカウントことに注意してください。（これは、多くの人が、この単純な解決策は削除された回答で見た票で機能すると考えていたため、これを追加しました。）実際、この問題は、「共有」部分、複数のパス。また、それらが解決される場合、有向グラフを解決するのは簡単だからです。cx=1+∑x→ycycx=1+∑x→ycyc_x=1+\sum_{x\to y}c_y

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ツリーの幅は、グラフがツリーにどれだけ近いかを測定します。ツリーの幅を計算するのはNP困難です。最もよく知られている近似アルゴリズムは係数。O （log n−−−−√）O（ログn）O(\sqrt{{\log}n}) Courcelleの定理は、単項2次論理（MSO2）で定義可能なグラフのプロパティは、有界ツリー幅のグラフのクラスで線形時間で決定できると述べています。最近の論文は、「線形時間」が「ログスペース」に置き換えられた場合でも、クールセルの定理がまだ有効であることを示しました。ただし、これは、ツリー幅が制限されているグラフのグラフ同型の空間の複雑さを解決しません。最もよく知られている結果は、LogCFLにそれを置きます。 他の問題はありますか： 一般的なグラフ上のNP-hard（またはPにあることが知られていない） 制限されたツリー幅を持つグラフ上の線形/多項式時間で解けることが知られている LogSpaceにあることが知られていない？

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（2週間前にこの質問をMathOverflow に投稿しましたが、これまでのところ厳密な回答はありませんでした） 無向単純グラフのグラフ幅測定について質問があります。コグラフ（孤立した頂点から始まる、互いに素な結合と補完の操作によって作成できるグラフ）のクリーク幅は最大2であることがよく知られています（Courcelle et al、Upper bounds to the graphs of graphs）。ここで、固定された負でない整数kを考え、グラフのクラスを考えて、すべてのにの集合があるようにしますがグラフであるようなk個の頂点。グラフクラスは、最大で追加することにより、グラフから構築できるグラフのクラスと見なすこともできるため、GkGk\mathcal{G} _kG=(V,E)∈GkG=(V,E)∈GkG = (V,E) \in \mathcal{G} _kSSSG[V−S]G[V−S]G[V - S]GkGk\mathcal{G} _kkkk頂点、このクラスはcographs +とも呼ばれています。kvkvkv 私の質問は、のグラフのクリーク幅、つまりk個の頂点を削除することでグラフに変換できるグラフの厳密な限界は何ですか？GkGk\mathcal{G}_k 個の頂点を削除してグラフをから取得した場合、ことが知られています。これは、個の頂点を削除することでグラフからコグラフを取得できる場合、であり、したがってグラフのクリーク幅は最大。私は上のこの指数関数的な依存かどうかわからないよ必要です。これに関連して、頂点を削除することによるクリーク幅の最大減少にも興味があります。すなわち、グラフから単一の頂点を削除した場合、クリーク幅はどのくらい減少しますか？GGGHHHkkkcw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)GGGHHHkkkcw(H)≤2k(3+1)cw(H)≤2k(3+1)cw(H) \leq 2^k (3 + 1)GkGk\mathcal{G}_k4∗2k4∗2k4*2^kkkk

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8月31日に更新された投稿：元の質問の下に現在の回答の概要を追加しました。おもしろい答えをありがとう！もちろん、誰もが新しい発見を投稿し続けることができます。 どのグラフファミリについて、色数を計算するための多項式時間アルゴリズムが存在しますか？χ(G)χ(G)\chi(G) この問題は、（2部グラフ）の場合、多項式時間で解決できます。一般に、χ （G ）≥ 3、色数を計算することはNP困難であるが、これが当てはまらない場合、多くのグラフファミリがあります。たとえば、彩色サイクルと完全なグラフは、多項式時間で実行できます。χ(G)=2χ(G)=2\chi(G) = 2χ(G)≥3χ(G)≥3\chi(G) \ge 3 また、多くのグラフクラスでは、対応する色多項式を単純に評価できます。Mathworldのいくつかの例。 上記のほとんどは常識だと思います。最小のグラフの色付けが多項式時間で解ける他の（自明でない）グラフファミリがあるかどうか喜んで学びます。 特に、正確で決定的なアルゴリズムに興味がありますが、興味深いランダム化アルゴリズムまたは近似アルゴリズムを自由に指摘してください。 アップデート（8月31日）： 興味深い回答を提出してくださった皆さんに感謝します。回答と参考文献の簡単な要約を以下に示します。 完璧でほぼ完璧なグラフ 幾何学的アルゴリズムと組み合わせ最適化（1988）、第9章（グラフの安定セット）。マーティン・グロッシェル、ラズロ・ロバス、アレクサンダー・シュライバー。 本の第9章では、最小加重クリーク被覆問題を介して色付け問題を解決する方法を示しています。それらは楕円法に依存しているため、これらのアルゴリズムは実際にはあまり有用ではないかもしれません。また、この章には、完全なグラフのさまざまなクラスに関する素晴らしい参照リストがあります。 Combinatorial Optimization（2003）、Volume B、Section VI Alexander Schrijver。 この本には、完全なグラフとその多項式時間彩色性に専念する3つの章があります。簡単に見てみましたが、基本的なアプローチは前の本と同じようです。 b完全グラフの特性（2010）。チン・T・ホアン、フレデリック・マフレ、メリーム・メチェベック 制限されたツリー幅またはクリーク幅のグラフ クリーク幅が固定されたグラフのエッジ支配セットとカラーリング（2001）。ダニエル・コブラー、Udi Rotics ここでのアルゴリズムでは、パラメーターとしてk式（有界なクリーク幅でグラフを構築するための代数式）が必要です。一部のグラフでは、この式は線形時間で計算できます。 Yaroslavは、有界ツリー幅グラフのカラーリングをカウントする方法で指摘しました。以下の彼の答えをご覧ください。 kkk 頂点カラーリングのパラメーター化された複雑さ（2003）。ライゼン・カイ。 kkkkkk コーダルグラフのパラメータ化されたカラーリング問題（2006）。ダニエル・マルクス。 kkkkkk 特定のサブグラフを含まないグラフ 多項式時間でのP5-Freeグラフのk-Colorabilityの決定（2010）。チン・T・ホアン、マルシン・カミンスキー、ヴァディム・ロジン、ジョー・サワダ、シャオ・シュウ。 多項式時間での3色のATフリーグラフ（2010）。ジュラジ・スタチョ。 四分木を着色 クワッドツリーを着色するためのアルゴリズム（1999）。David Eppstein、Marshall W. Bern、Brad Hutchings。

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平面グラフGとしてモデル化された電気ネットワークを考えます。各エッジは1Ω抵抗を表します。 Gの2つの頂点間の正確な実効抵抗をどれくらい迅速に計算できますか？ 同様に、Gの2つの頂点に1Vのバッテリーを取り付けた場合、各エッジに沿って流れる正確な電流をどれくらい迅速に計算できますか？ キルヒホッフのよく知られている電圧と電流の法則は、この問題を軽減し、エッジごとに1つの変数を持つ線形方程式を解くことになります。より最近の結果-Klein andRandić（1993）によって明示的に記述されていますが、Doyle and Snell（1984）の初期の研究では暗黙的です-そのノードのポテンシャルを表す頂点ごとに1つの変数を持つ線形システムを解く問題を軽減します; この線形システムの行列は、グラフのラプラシアン行列です。 どちらの線形システムも、ネストされた解剖と平面セパレーターを使用して、時間で正確に解くことができます[ Lipton Rose Tarjan 1979 ]。 これは既知の最速のアルゴリズムですか？O （n3 / 2）O(n3/2)O(n^{3/2}) Spielman、Teng、およびその他の最近の独創的な結果は、任意のグラフのラプラシアン系がほぼ線形時間でほぼ解けることを意味しています。現在の最高の実行時間については[ Koutis Miller Peng 2010 ]を参照してください。概要については、Simons FoundationのErica Klarreichによるこの驚くべき記事を参照してください。しかし、私は特に平面グラフの正確なアルゴリズムに興味があります。 一定時間で正確な実数演算をサポートする計算モデルを想定します。

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Iは無向、重み付けされていない、接続されたグラフを探してい、各ペアのためにここでU 、V ∈ V、一意あるU → Vの距離を実現する経路D （U 、Vが）。G = （ V、 E）G=（V、E）G=(V,E)U 、V ∈ Vあなたは、v∈Vu,v \in Vu → vあなたは→vu \rightarrow vd（u 、v ）d（あなたは、v）d(u,v) このクラスのグラフはよく知られていますか？他にどんなプロパティがありますか？たとえば、すべてのツリーはこのようなものであり、均等なサイクルのないすべてのグラフも同様です。ただし、この種のサイクルを含むグラフもあります。

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キュービックグラフは、すべての頂点が次数3のグラフです。それらは広範囲に研究されており、いくつかのNP困難な問題は、キュービックグラフのサブクラスに制限されてもNP困難のままですが、他のいくつかはより簡単になることを知っています。立方グラフのスーパークラスは、最大次数持つグラフのクラスです。Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3 3次グラフの多項式時間で解くことができる問題はありますが、最大次数グラフではNP困難です？Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3

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接続グラフの通勤時間は、ノードjにアクセスしてからノードiに再び到達するまでの、iで始まるランダムウォークの予想ステップ数として定義されます。基本的には、2つの打撃時間H （i 、j ）とH （j 、i ）の合計です。G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)私iijjj私iiH（i 、j ）H(i,j)H(i,j)H（j 、i ）H(j,i)H(j,i) 通勤時間に似たもの（まったく同じではない）がノードに関して定義されているものはありますか？言い換えれば、数の期待値何であるの異なるノードはランダムウォークから始まりとで戻って、私が訪問しますか！私ii私ii 更新（2012年9月30日）：ラティス（つまり、）上のランダムウォーカーが訪問した個別のサイトの数に関する多くの関連作業があります。たとえば、http：//jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1？isAuthorized = noを参照してくださいZnZn\mathbb{Z}^n 誰かがこれについて何か読んだことがありますか？

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