ツリー幅が制限されたグラフの対数空間アルゴリズム

ツリーの幅は、グラフがツリーにどれだけ近いかを測定します。ツリーの幅を計算するのはNP困難です。最もよく知られている近似アルゴリズムは係数。 $O(\sqrt{{\log}n})$

Courcelleの定理は、単項2次論理（MSO2）で定義可能なグラフのプロパティは、有界ツリー幅のグラフのクラスで線形時間で決定できると述べています。最近の論文は、「線形時間」が「ログスペース」に置き換えられた場合でも、クールセルの定理がまだ有効であることを示しました。ただし、これは、ツリー幅が制限されているグラフのグラフ同型の空間の複雑さを解決しません。最もよく知られている結果は、LogCFLにそれを置きます。

他の問題はありますか：

一般的なグラフ上のNP-hard（またはPにあることが知られていない）
制限されたツリー幅を持つグラフ上の線形/多項式時間で解けることが知られている
LogSpaceにあることが知られていない？

— シヴァ・キンタリ
ソース

近似係数に記載されている

は何ですか？

n

$n$

— -gphilip

は、入力グラフの頂点の数です。

n

$n$

— シヴァキンタリ

一般的に、

ツリー幅の概算。私が知っている最良の多項式時間近似アルゴリズムは、

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

近似係数

はグラフのツリー幅です。Feige、Hajiaghayi、およびLee、最小重量の頂点セパレーターの改善された近似アルゴリズム、STOC 2005を参照してください。

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip10年

Tutte多項式は一例です。

これは、色彩多項式の一般化であり、それ自体は合理的な定式化における＃P-hard問題です。に

有界ツリー幅のグラフのTutte多項式の評価、SDノーブル、組み合わせ論、確率とコンピューティング、1998年、

$O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$

詳細な定義についてはよく知りませんが、問題をMSO2で直接表現することはできないようです...この問題があなたの必要なものであることを願っています！

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

関数fとは何ですか？

— マイケルブロンディン

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

Makowskiは、「文献で研究されているすべてのグラフ多項式はSOL定義可能」であり、「動物園から動物学へ：グラフ多項式の一般理論に向けて」の15ページのSOLに関してTutte多項式の定式化を提供します。「Feferman-Vaughtの定理のアルゴリズム的使用」で、彼はクールセルの定理を拡張して、有界ツリー幅グラフ上のSOL定義可能な多項式の扱いやすさを示しています。

— ヤロスラフブラトフ