ほとんどのグラフのクリーク幅

（2週間前にこの質問をMathOverflow に投稿しましたが、これまでのところ厳密な回答はありませんでした）

無向単純グラフのグラフ幅測定について質問があります。コグラフ（孤立した頂点から始まる、互いに素な結合と補完の操作によって作成できるグラフ）のクリーク幅は最大2であることがよく知られています（Courcelle et al、Upper bounds to the graphs of graphs）。ここで、固定された負でない整数kを考え、グラフのクラスを考えて、すべてのにの集合があるようにしますがグラフであるようなk個の頂点。グラフクラスは、最大で追加することにより、グラフから構築できるグラフのクラスと見なすこともできるため、$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$$\mathcal{G} _k$$k$頂点、このクラスはcographs +とも呼ばれています。$kv$

私の質問は、のグラフのクリーク幅、つまりk個の頂点を削除することでグラフに変換できるグラフの厳密な限界は何ですか？$\mathcal{G}_k$

個の頂点を削除してグラフをから取得した場合、ことが知られています。これは、個の頂点を削除することでグラフからコグラフを取得できる場合、であり、したがってグラフのクリーク幅は最大。私は上のこの指数関数的な依存かどうかわからないよ必要です。これに関連して、頂点を削除することによるクリーク幅の最大減少にも興味があります。すなわち、グラフから単一の頂点を削除した場合、クリーク幅はどのくらい減少しますか？$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$$4*2^k$$k$

私はあなたのこの古い質問に答えようとしますが、私の答えが決定的なものであるかどうかはわかりませんが、正しい方向にあなたを向けるべきです。

まず、線形クリーク幅について説明しましょう。グラフは、線形クリーク幅がある場合、1追加グラフに頂点をその頂点は常にユニークな色の順序の最初に配置することができます。したがって、頂点を追加すると、線形クリーク幅は最大1だけ増加します。$k$$1$

GurskiとWankeは、「NLC幅と線形NLC幅の関係について」で、グラフに無限の線形クリーク幅があることを示しました。

コグラフには無制限の線形クリーク幅があるが、有界のクリーク幅があるため、適切なクリーク分解はツリー構造でなければなりません。多くの深い分岐を任意に強制できることを示さなければなりません。次に、ツリーの場合と同様に、2 ^ kの葉でツリーを構築し、k頂点を追加し、各リーフは新しい頂点の一意のサブセットに接続します。