色数を計算するための多項式時間アルゴリズムを持つグラフファミリ

8月31日に更新された投稿：元の質問の下に現在の回答の概要を追加しました。おもしろい答えをありがとう！もちろん、誰もが新しい発見を投稿し続けることができます。

どのグラフファミリについて、色数を計算するための多項式時間アルゴリズムが存在しますか？$\chi(G)$

この問題は、（2部グラフ）の場合、多項式時間で解決できます。一般に、χ （G ）≥ 3、色数を計算することはNP困難であるが、これが当てはまらない場合、多くのグラフファミリがあります。たとえば、彩色サイクルと完全なグラフは、多項式時間で実行できます。$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

また、多くのグラフクラスでは、対応する色多項式を単純に評価できます。Mathworldのいくつかの例。

上記のほとんどは常識だと思います。最小のグラフの色付けが多項式時間で解ける他の（自明でない）グラフファミリがあるかどうか喜んで学びます。

特に、正確で決定的なアルゴリズムに興味がありますが、興味深いランダム化アルゴリズムまたは近似アルゴリズムを自由に指摘してください。

アップデート（8月31日）：

興味深い回答を提出してくださった皆さんに感謝します。回答と参考文献の簡単な要約を以下に示します。

完璧でほぼ完璧なグラフ

• 幾何学的アルゴリズムと組み合わせ最適化（1988）、第9章（グラフの安定セット）。マーティン・グロッシェル、ラズロ・ロバス、アレクサンダー・シュライバー。

  本の第9章では、最小加重クリーク被覆問題を介して色付け問題を解決する方法を示しています。それらは楕円法に依存しているため、これらのアルゴリズムは実際にはあまり有用ではないかもしれません。また、この章には、完全なグラフのさまざまなクラスに関する素晴らしい参照リストがあります。

• Combinatorial Optimization（2003）、Volume B、Section VI Alexander Schrijver。

  この本には、完全なグラフとその多項式時間彩色性に専念する3つの章があります。簡単に見てみましたが、基本的なアプローチは前の本と同じようです。

• b完全グラフの特性（2010）。チン・T・ホアン、フレデリック・マフレ、メリーム・メチェベック

制限されたツリー幅またはクリーク幅のグラフ

• クリーク幅が固定されたグラフのエッジ支配セットとカラーリング（2001）。ダニエル・コブラー、Udi Rotics

  ここでのアルゴリズムでは、パラメーターとしてk式（有界なクリーク幅でグラフを構築するための代数式）が必要です。一部のグラフでは、この式は線形時間で計算できます。

• Yaroslavは、有界ツリー幅グラフのカラーリングをカウントする方法で指摘しました。以下の彼の答えをご覧ください。

$k$

• 頂点カラーリングのパラメーター化された複雑さ（2003）。ライゼン・カイ。

  $k$$k$

• コーダルグラフのパラメータ化されたカラーリング問題（2006）。ダニエル・マルクス。

  $k$$k$

特定のサブグラフを含まないグラフ

• 多項式時間でのP5-Freeグラフのk-Colorabilityの決定（2010）。チン・T・ホアン、マルシン・カミンスキー、ヴァディム・ロジン、ジョー・サワダ、シャオ・シュウ。

• 多項式時間での3色のATフリーグラフ（2010）。ジュラジ・スタチョ。

四分木を着色

• クワッドツリーを着色するためのアルゴリズム（1999）。David Eppstein、Marshall W. Bern、Brad Hutchings。

ご覧のとおり、すべての完全なグラフは多項式時間で色付けできますが、その証明には、直接的な組み合わせではなく、線形計画法（Grotschel、Lovász、Schrijverの本を参照）の楕円体アルゴリズムが含まれると思います。完全なグラフのサブクラスであり、より簡単なカラーリングアルゴリズムを備えたさまざまなクラスのグラフがあります。たとえば、コードグラフは、完全な消去順序を使用して貪欲に色付けできます。

カラーリングが存在する場合、すべてのローカルに接続されたグラフ（すべての頂点に接続された近傍があるグラフ）は、多項式時間で3色にすることができます。

最大次数3のグラフは、多項式時間で色付けすることができます：二部かどうかをテストするのは簡単です。そうでない場合は、3色のみが必要であるか、K4が連結成分として4色が必要です（ブルックスの定理）。

同じ理由で、三角形のない平面グラフは多項式時間で色付けすることができます：それらは最大で3色（グレッツの定理）です。

B-完全グラフは（完全グラフとは異なり）5サイクルを誘起可能にし、ホアン、Maffray、及びMechebbekによって着色するための多項式時間アルゴリズムを有することが示されたB-パーフェクトグラフの特性、arXivの：1004.5306、2010。

（ISGCIのグラフクラスのすばらしい大要が、クリーク幅、独立集合、支配のみをカバーしているのは残念です。カラーリングに関する情報は含まれていません。）

また、有界クリーク幅のグラフ（ツリー幅よりも一般的です）：Kobler and Rotics。

$n^{f(k)}$

また、クリーク幅の計算は困難ですが、OumとSeymourによる近似アルゴリズム「クリーク幅とブランチ幅の近似化」（指数近似）があります。

$k$

制限されたツリー幅を持つグラフのファミリには、色数を計算するための多項式時間アルゴリズムがあります。Gamarnik は、カラーリングのカウントの問題を、同じグラフで定義された特定のマルコフランダムフィールドの周辺の計算の問題に減らします。ジャンクションツリーアルゴリズムを使用すると、有界ツリー幅グラフのMRFの周辺を多項式時間で計算できるため、結果が続きます。

更新8/26：「色の数」<->境界の削減の例を次に示します。適切なカラーリングから開始する必要があります。これは、ジャンクションツリーアルゴリズムのmax-plusバージョンを使用した有界ツリー幅グラフの多項式時間で見つけることができます。考えてみると、色数の色の数は本当に必要ありません。適切な色は1つだけです。

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

最大でk個の頂点を削除することで和音にできるグラフの色数問題の複雑さに関するDaniel Marxの結果もあります。固定kごとに、この問題は多項式です（http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008）。

quadtreesを着色するためのアルゴリズム。
M. Bern、D。Eppstein、およびB. Hutchings。
http：// arXivの：cs.CG/9907030。
Algorithmica 32（1）：87-94、2002。

2つの隣接する正方形が同じように色付けされないように、四分木の正方形を色付けする問題のいくつかのバリエーションを検討します。エッジ隣接のある3色のバランスの取れたクアッドツリー、エッジ隣接のある4色のアンバランスなクワッドツリー、およびコーナー隣接のある6色のバランスまたはアンバランスのクアッドツリーのための単純な線形時間アルゴリズムを提供します。最初の2つのアルゴリズムで使用される色の数は最適です。3番目のアルゴリズムでは、5色が必要になる場合があります。