Natural CLIQUEからk色への削減

どちらもNP完全であるため、CLIQUEからk-Colorに明らかに減少しています。実際、CLISATから3-SATへの縮約と3-SATからk-Colorへの縮約を組み合わせて、1つを構成できます。私が疑問に思っているのは、これらの問題の間に合理的な直接的な減少があるかどうかです。SATのような中間言語を記述する必要なしに、友人にかなり簡単に説明できる削減。

私が探しているものの例として、逆方向の直接的な削減があります：$n$といくつかの（色の数）でGを与え、頂点（頂点ごとの色ごとに1つ）でグラフG 'を作成します。および（または）の場合にのみ頂点および色それぞれ対応する頂点、は隣接します。で-cliqueに頂点ごとに1つの頂点を有する、及び対応する色が適切であるの-coloring$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$。同様に、適切なカラーリングには、対応するクリークがあります。$k$$G$$G'$

編集：簡単な動機付けを追加するために、Karpの元の21個の問題は、CLIQUEとChromatic Numberが主要なサブツリーのルートを形成する縮小ツリーによってNP完全であることが証明されています。CLIQUEサブツリーとChromatic Numberサブツリーの問題の間には、いくつかの自然な減少がありますが、それらの多くは、私が尋ねているものと同じくらい見つけるのが難しいです。このツリーの構造が他の問題の根本的な構造を示しているか、それとも完全に最初に見つかった削減の結果であるかどうかをドリルダウンしようとしています。同じ複雑さのクラスにあることが知られています。確かに順序はある程度の影響があり、ツリーの一部は再配置できますが、任意に再配置できますか？

編集2：私は直接削減を探し続けていますが、ここでは私が手に入れた最も近いもののスケッチです（有効な削減であるはずですが、CIRCUIT SATは明確な仲介者です。これがより良いかどうかは多少主観的です最初の段落で言及したように、2つの削減を構成します）。

与えられた場合、がk-クリークを持っている場合、はすべての色がTrueで、頂点で色にできることを知っています。Gの元の頂点にv_1、\ ldots、v_nという名前を付け、\ overline Gに追加の頂点を追加します。C_{ij}に1 \ le i \ le n、0 \ le j \ le kを追加します。重要な不変条件は、頂点\ {v_1、\ ldots、v_i \}の中に少なくともj個の頂点がTrueに着色されている場合にのみ、C_ {ij}をTrueに着色できることです。したがって、各C_ {i0}はTrueになります。その後、$G, k$$\overline{G}$$n-k+1$$k$$G$$k$$G$ $v_1, \ldots, v_n$$\overline G$$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$用$j > 0$色取得$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$すべての非真色が偽として扱われます。C_ {nk}をTrueに着色できる場合、Gに$k$クリークがあります。したがって、元のグラフにkクリークがあった場合、その着色を強制すると、新しいグラフは着色可能になります。$G$$C_{nk}$$k$

関係を強制するANDおよびORガジェットは、CIRCUIT SATから3-COLORへの縮小によく似ていますが、ここではグラフにK_ {n-k + 1}を含め、$K_{n-k+1}$頂点T、F、およびGroundを選択してから、他のすべてを$v_i$のすべてに接続します。これにより、$C_{ij}$と他のガジェットが3色のみを受け取るようになります。

とにかく、この削減の部分は直接的に感じますが、AND / ORゲートの使用はそれほど直接的ではありません。問題は残っていますが、よりエレガントな削減がありますか？$\overline G$

編集3：この削減を見つけるのが難しい理由についていくつかのコメントがありました。CLIQUEとk-Colorは確かにまったく異なる問題です。ただし、削減しなくても、一方の方向では削減が難しく、もう一方の方向では削減が可能な理由を詳しく説明する回答は非常に役立ち、問題に大きく貢献します。

グラフGと数kが与えられ、Gにkクリークが含まれているかどうかを知りたい場合、nをGの頂点の数とします。次のように、Gにkクリークがある場合にのみHがn色になるような別のグラフHを作成します。$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

各頂点について（1）VでGは、作るn個の頂点の-clique （V 、I ）でH、Iがの範囲1にNを。$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

（2）追加の頂点xをHに追加します。$x$$H$

（3）Hの頂点の各トリプル{ x 、y 、z } （ここでy = （v 、i ）およびz = （u 、j ））について、次の条件のいずれかが成り立つかどうかをテストします：u ≠ vおよびi = J、又はU及びVに隣接しない頂点であるGと最大値（I 、J ）≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$。これらの2つのいずれかが当てはまる場合、別のnクリークをHに追加します。このクリーク内で、3つの頂点x '、y '、およびz 'を選択します。y ′とz ′を除くクリークのすべての頂点にxを接続します。yをx ′およびz ′を除くクリークのすべての頂点に接続します。そして、x ′とy ′を除くクリークのすべての頂点にzを接続します。$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

手順（3）で追加されたガジェットは、頂点x、y、およびzのトリプルがすべてHの有効な色付けで互いに同じ色を与えられるのを防ぎます。でクリークGはの着色から回収することができるH頂点の集合として（V 、I ）と同じ色のクラスであり、Xおよび持っiは≤ kは。$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

？カラーリングとクリークの発見は、SAT（1971年のCookの証明後に一般的になった）を介さずに、グラフ理論（おそらく60年代でも）によって数十年にわたって密接に結びついていることが知られています。次の基本的な特性に基づいたアルゴリズムがあると信じています：

Gにサイズkのクリークが含まれている場合、そのクリークを着色するには少なくともk色が必要です。換言すれば、色数が少なくともクリーク番号： $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

正確なrefがわからないが、[1,2]は開始するのに適した場所であり、正確なアルゴリズムまたはrefは少なくともこれらの本で引用されている可能性が高い。

[1] クリーク、着色、および充足可能性、2回目のDIMACSチャレンジ

[2] Dimacs vol 26：クリーク、カラーリング、および充足可能性