ランダムウォークの個別ノードの数

接続グラフの通勤時間は、ノードjにアクセスしてからノードiに再び到達するまでの、iで始まるランダムウォークの予想ステップ数として定義されます。基本的には、2つの打撃時間H （i 、j ）とH （j 、i ）の合計です。$G=(V,E)$$i$$j$$i$$H(i,j)$$H(j,i)$

通勤時間に似たもの（まったく同じではない）がノードに関して定義されているものはありますか？言い換えれば、数の期待値何であるの異なるノードはランダムウォークから始まりとで戻って、私が訪問しますか！$i$$i$

更新（2012年9月30日）：ラティス（つまり、）上のランダムウォーカーが訪問した個別のサイトの数に関する多くの関連作業があります。たとえば、http：//jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1？isAuthorized = noを参照してください$\mathbb{Z}^n$

誰かがこれについて何か読んだことがありますか？

このスライドのスタック距離として定義されているものを研究することに興味があると思われるコメントのQ＆Aから、キャッシュの数学的モデリングについて

参照のスタック距離を、同じブロック番号に対する現在の参照と以前の参照の間の一意のブロックアドレスの数として定義します。

ベンチマークによるいくつかの実証分析があります。一般に、キャッシュリクエストには「局所性の既知の測定値がない」と述べており、そのような測定値としてスタック距離を提案しています。コメントでそのような関係をスケッチしますが、ランダムグラフ理論とは関係ありません。（スタック距離がマルコフチェーンミキシングに関連している可能性があるようです？）

キャッシュリクエストをグラフのノードと見なし、エッジを隣接リクエスト間の遷移と見なすことにより、キャッシュパフォーマンスまたは最適化アルゴリズムのモデリングに関心があるようです。このグラフの構造を研究した論文を見たことがない。証明可能に見えるんではないため、実際にはキャッシュの成功と何と呼ばれていると、実際のアプリケーションでは、純粋にランダムグラフとするために、空間的および時間的局所上記スライドインチ すなわち、ジョーが彼の答えでスケッチするような、ある種の「クラスタリング」。

（多分、小さな世界構造を持っていますか？これは、実世界のデータではかなり遍在しています）

コメント：私は最近、ナターシャ・コモロフとピーター・ウィンクラーとの共同作業である「キャッチング・ア・ドランク・ミスクリート」というタイトルでブルース・リードの講演に参加しました。この作業の結果をつかむことができれば、それが何らかの方向に役立つかもしれません。

一般に、強盗がエッジに沿ってランダムに移動することがわかっている場合、一般的なグラフで強盗を捕まえるために警官が必要とするステップ数の上限を証明します。

これはあなたの質問に対する適切な答えではありませんが、コメントするには長すぎます。

後の量はグラフごとに異なり、歩行者の最初の場所に依存します。別個の中間ノードの予想数は、グラフ内のクラスタリングに強く依存し、別個の中間ノードの予想数は、クラスタリング係数と相関すると予想されます。

クラスターは基本的に、多数のエッジを共有する頂点のサブセットであるため、各頂点はクラスター内の他の頂点の大部分に接続されます。ウォーカーがクラスターに入ると、多数のホップの間、その領域にとどまる可能性が高く、各ノードを何度も再訪する可能性があります。実際、この方法でランダムウォークを使用することは、大きなグラフでクラスターを識別するために使用される計算手法の1つです。したがって、クラスタで開始する歩行者の場合、明確な中間頂点の予想数は、クラスタのサイズとクラスタを離れる平均確率に応じて拡大する可能性があります。

$N$$\frac{1}{N}$$N+1$

グラフ内の頂点の平均次数も重要な役割を果たしますが、これはクラスタリングにリンクされています。これは、歩行者が次数1の頂点にジャンプするときに、次のホップで前の頂点に戻る必要があるためです。次数が2の場合でも、各ホップでどちらの方向にもトラバースできますが、グラフをたどることができるパスは1つだけです。一方、次数が2を超えるグラフでは、パスの数が爆発する可能性があり、その間の最短パスが小さくても最初のサイトに戻る可能性は非常に低くなります。

したがって、平均次数が実質的に2を超えており、ツリーなどの有意なクラスタリングを持たないグラフでは、明確な中間頂点の数が多いと予想されます。

もちろん、これらのコメントは量子ランダムウォークの場合には当てはまりませんが、古典的なケースにのみ関心があると思います。