スパースグラフの正則性補題

Szemerediの正則性補題は、すべての密なグラフは多くの2部展開グラフの和集合として近似できると述べています。より正確には、ほとんどの頂点のセットへのパーティションがあり、セットのほとんどのペアが2部展開器を形成します（パーティション内のセットの数と展開パラメーターは近似パラメーターに依存します）。$O(1)$$O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

「良好な」スパースグラフ用のこの補題には、次のようなバージョンがあります。

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

これらの定式化について私が驚いたのは、パーティション内のセットのほとんどのペアが二部エキスパンダーを形成することだけを保証し、これらの二部エキスパンダーが空であることです。そのため、一般的なスパースグラフでは、頂点のパーティション内の異なる部分間のすべてのエッジがエキスパンダーに属していない可能性が非常に高くなります。

パーツ間のほとんどのエッジがエキスパンダーからのものであることを示す定式化があるのか​​、それともそのような定式化の希望がないのだろうか。

以下は長々とした答えですが、一般的な場合にはtl; drはそのような定式化の希望はありませんが、規則性補題を持つ疎グラフの特定のクラスの多くにはこの定式化が存在します。

背景として、SRLの2つの一般的なバージョンがあります。固定およびノードグラフ場合、を部品...$\varepsilon > 0$$n$$G = (V, E)$$V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$$p = O_{\varepsilon}(1)$

• （組み合わせフレージング）（1）とのサイズは最大で（は「例外セット」と呼ばれます）、（2）残りの部分のペアは満たす （ここでは、パーツ間の密度、つまり存在するエッジの割合を示します）。$|V_0| \le \varepsilon n$$V_1, \dots, V_p$$1$$V_0$$\varepsilon p^2$$(V_i, V_j)$

  $$\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$$ $d(\cdot, \cdot)$

• （分析フレージング）まかせ 我々は

  $$\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$$ $$\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$$

「コンビナトリアルフレージング」（これらの名前を作成しただけで、標準ではありません）が元の、おそらくより有名なものですが、「分析フレージング」はより現代的でグラフの制限などに関連しています（ここで普及したと思います）。私の目では、分析的なものは、「2部展開器の結合によって近似されるグラフ」の正しい形式化です。これは、そのような近似の「エラー」全体を制御し、質量を隠す例外的なセットがないためです。しかし、この時点では、これらは2つのフレージングが同等であることは簡単ですが重要な補題なので、これは単なる見た目です。CombinatorialからAnalyticに移行するために、ユニオンは、不規則な部分と例外的なセットの不一致への寄与を制限しました。AnalyticからCombinatorialに移るには、例外セットに不一致が大きすぎる部分を移動し、Markovの不等式を適用して質量を制御します。

今、まばらな規則性。疎な規則の目的は、交換することである有するそれぞれの不等式で、、すべての可能なエッジがで存在する画分である。重大なことに、この変更により、2つのフレージングは​​同等ではなくなりました。 むしろ、分析的フレージングは​​より強力です。それはまだ以前とまったく同じようにコンビナトリアルを意味しますが、コンビナトリアルは一般的にアナリティックを意味しませんパーツのペア。実際、この分離は形式的です：高密度SRLの下限グラフ（たとえば、このグラフ$\varepsilon$$\varepsilon d(G)$$d(G)$$G$）分析的フレージングは​​一般にスパースグラフに拡張されないことを意味しますが、OPでリンクされているスコットの論文は、組み合わせフレージングが実際に条件なしですべてのスパースグラフに拡張することを示しています。

OPにリンクされた調査では、「上位正規」スパースグラフのSRLについて主に説明しています。これは、おおよそ、一定の係数よりも平均よりも密度の高いカットがないことを意味します。これらの特定のグラフでは、コンビナトリアルと分析のフレージングは​​同等です。例外的な部分に余分な質量を隠せないため、それらの不一致への寄与は密な場合のように結合されます。そのため、これらのグラフには「2者間エクスパンダーの結合により近似される」解釈があります。

最後に、これらの言い回しの間の同等性も暗示している他の多くの仮説が文献にあることに言及する必要があります。たとえば、 Upper Regularity（ここで定義）は、Upper Regularityよりも一般的であり、同等性を暗示するのに十分です。ただし、このグラフクラスおよびその他のクラスについては、関連する弱い規則性補題のみを認識しています。$L_p$