ツリー幅の概念の起源

今日の私の質問は（いつものように）ちょっとばかげています。しかし、私はあなたに親切にそれを考慮するように要請します。

ツリー幅の概念の背後にある起源や動機について知りたいと思いました。FPTアルゴリズムで使用されていることは確かに理解していますが、それがこの概念が定義された理由だとは思いません。

ロビン・トーマス教授のクラスで、このトピックに関する筆記ノートを作成しました。私はこの概念のアプリケーションのいくつかを理解していると思います（ツリーの分離プロパティを分解されたグラフに転送するように）が、何らかの理由で、この概念が開発された理由はグラフの近さを測定することであると確信していません木に。

私は自分自身をより明確にしようとします（できるかどうかはわかりませんが、質問が明確でない場合はお知らせください）。同様の概念が、この概念が「借用」されたと思われる数学の他の分野のどこかに存在したかどうかを知りたい。私の推測はトポロジーになりますが、背景が不足しているため、何も言えません。

私がこのことに興味を抱く主な理由は、その定義を初めて読んだとき、誰がなぜそれをどのように思い、どのような目的で考えるのかわからなかったからです。質問がまだ明確でない場合、私は最終的にこのようにそれを述べてみます-treewidthの概念が存在しないふりをしましょう。離散的な設定に対する自然な質問（またはいくつかの数学の定理/概念の拡張）は、ツリー幅として定義（関連する単語を使用させてください）を思い付くようになります。

何がニール・ロバートソンと私をツリー幅に導いたのかを本当に知りたいなら、それはまったくアルゴリズムではありませんでした。私たちは、グラフの無限のセットで、それらの1つが別のもののマイナーであるというワーグナーの推測を解決しようとしていました。k-頂点パスのないグラフに制限すれば、それは真実だとわかった。理由を説明させてください。そのようなグラフはすべて単純な構造であることがわかっていました（より正確には、k-頂点パスを持たないすべてのグラフはこの構造を持ち、この構造をもつすべてのグラフは2 ^ k-頂点パスを持ちません）。そして、この構造を持つすべてのグラフの無限のセットで、それらの1つが別のマイナーであることがわかっていました。したがって、ワーグナーの予想は、最大パス長に限界があるグラフに当てはまりました。

また、このようなグラフの構造定理があったため、マイナーなk-starを持たないグラフにも当てはまることがわかりました。ワーグナーの予想を証明するために使用できる、対応する構造定理を持つより一般的な未成年者を探してみました。任意のツリーをマイナーとして除外すると、パス幅が制限されます。パス幅を制限している場合は、マイナーとして使用できないツリーがあります。（これは私たちにとっては難しい定理でした。最初のGraph Minors論文には非常に難しい証明がありましたが、読んではいけません。もっと簡単にすることができます。）そしてそれは、マイナーとして固定ツリーを含まないグラフに当てはまることを意味しました。先に述べたパスとスターのケースの大きな一般化。

とにかく、それが終わったので、私たちはさらに進めようとしました。一般的なグラフを作成できなかったため、平面グラフについて考えました。マイナーな固定平面グラフを含まない平面グラフの構造定理を見つけました（これは簡単でした）。それは境界のあるツリー幅でした。固定平面グラフでは、マイナーとして含まれていないすべての平面グラフがツリー幅を制限していることを証明しました。ご想像のとおり、それは本当にエキサイティングでした。偶然にも、平面グラフ（より大きな平面グラフ内）を除外するための構造定理は、木（一般グラフ内）を除外するための構造定理の自然なねじれでした。私たちは正しいことをしていると感じました。そして、この構造定理があるため、すべての平面グラフに対するワーグナーの推測を証明できます。

ツリー幅は大きな平面グラフ内の平面グラフを除外するために機能したので、非平面グラフ内の平面グラフを除外するために機能したかどうかは当然の質問でした-すべての固定平面グラフについて、それを含まないすべてのグラフが未成年者はツリー幅を制限していましたか？これは長い間証明できませんでしたが、それが一般的なグラフのツリー幅について考えるようになった方法です。そして、ツリー幅の概念が得られると、アルゴリズムに適していることが明らかになりました。（そして、はい、ハリンがすでに木幅について考えていたということは知りませんでした。）

以下に、ツリー幅の概念を自分で考え出す方法を示します。

次のグラフで独立セットの数をカウントするとします。

独立したセットは、最上位ノードが占有されているセットと占有されていないセットに分割できます。

ここで、最上位ノードが占有されているかどうかを知ると、各サブ問題の独立したセットの数を個別にカウントし、乗算できることに注意してください。このプロセスを再帰的に繰り返すと、グラフのセパレータに基づいて独立したセットをカウントするアルゴリズムが得られます。

今、あなたはもはやツリーを持っていないと仮定します。これは、セパレータが大きいことを意味しますが、同じ考えを使用できます。次のグラフで独立したセットをカウントすることを検討してください。

問題をセパレータでサブ問題に分割するのと同じ考えを使用して、次のようにします

前の例と同様に、合計の各用語は、セパレーターを介して2つの小さなカウントタスクに分解されます。

セパレーターのすべての構成を列挙する必要があるため、前の例よりも合計に多くの用語があることに注意してください。

ツリー分解は、これらの再帰的な分割ステップをコンパクトに保存するためのデータ構造です。次のグラフとそのツリー分解を検討してください

この分解を使用してカウントするには、最初にノード3、6の値を修正し、2つのサブ問題に分割します。最初のサブ問題では、ノード5をさらに修正し、その部分を2つの小さなサブ部分に分割します。

最適な再帰的分解における最大のセパレータのサイズは、正確にツリーの幅です。より大きなカウントの問題では、最大のセパレーターのサイズがランタイムを支配します。そのため、この量が非常に重要です。

グラフがツリーにどれだけ近いかを測定するツリー幅の概念について、直感的に理解するための1つの方法は、コードグラフとの対応から、ツリー分解の代替派生を調べることです。最初に、頂点を順番に走査し、各頂点のすべての「高次」隣接ノードを相互接続することにより、グラフを三角形化します。

次に、最大クリークを取り、それらの交差が最大セパレーターである場合にそれらを接続することにより、ツリー分解を構築します。

ツリー分解を構築する再帰的なセパレータと三角形分割ベースのアプローチは同等です。ツリーの幅+1は、グラフの最適な三角形分割における最大クリークのサイズです。グラフが既に三角形分割されている場合は、最大クリークのサイズだけです。

したがって、ある意味では、ツリー幅twの弦グラフは、単一ノードではなく、最大でtw + 1のサイズの重複クリークを持つツリーと考えることができます。非弦グラフは、そのような「クリークツリー」であり、いくつかのクリークエッジが欠落しています。

コードグラフとそのツリー幅を次に示します。

treewidth自体は、すでに与えられたRobertson Seymourの論文から始まったと思います。しかし、いくつかの初期の前駆体は次のように見えます：

• ウンベルトのベルテレからの、動的なプログラミングアルゴリズムの動作を制御するグラフの「次元」の概念。Brioschi、Francesco（1972）、非シリアル動的プログラミング。

• グラフ上の追跡回避ゲームの概念、パーソンズ、TD（1976）から。「グラフでの追跡回避」。グラフの理論とアプリケーション。スプリンガー出版 pp。426–441。これの1つの変種は、後にツリー幅と同等であることが示されました：Seymour、Paul D .; トーマス、ロビン（1993）、 "グラフ検索と木幅のための最小-最大の定理"、組合せ論のジャーナル、シリーズB 58（1）：22-33、DOI：10.1006 / jctb.1993.1027。

• Ungar、Peter（1951）から始まる平面グラフの区切り階層、「平面グラフの定理」、Journal of the London Mathematical Society 1（4）：256、doi：10.1112 / jlms / s1-26.4.256、および継続1979年から1980年にリプトンとタージャンがいくつかの論文を発表しました。このタイプの階層の最大のセパレーターのサイズは、ツリー幅に密接に関連しています。

ロバートソン・シーモアのアイデアが既に浮かんでいるかもしれない時代に進むと、追跡回避と分離のアイデアを明示的に結びつけ、パス幅に相当する幅の概念を定義するGraph Minors IIより前の論文もあります：エリス、JA; サドバラ、IH; ターナー、JS（1983）、「グラフ分離と検索番号」、Proc。1983アラートン会議 コミュニケーション、制御、コンピューティング。

Reinhard Diestelは、グラフ理論に関する彼のモノグラフで、ツリー幅とツリー分解の概念を、Halinによる1976年の論文に遡ります（これらの名前は使用していませんが）。彼はまた、この論文の結果として、平面グリッドグラフのツリー幅が制限されていないという結果に帰着します。もちろん、彼はロバートソンとシーモアによる後の論文にも言及しています。彼は「概念を再発見しました。明らかにハリンの仕事に気づいていません」（私の翻訳が下手ならごめんなさい）。

• $S$
• ラインハルト・ディーステル。Graphentheorie、第3ドイツ語版、Notizen zu Kapitel 10（英語版の一部は無料でダウンロードできます。）

概念ツリー幅 [1]（および類似の概念のブランチ幅）に対するそれらの精液の論文にロバートソンとシーモアによって導入されたグラフ未成年者。

$G$$H$

参照：N.ロバートソン、PDシーモア。グラフ未成年者。II。tree-widthのアルゴリズム的側面。JCTシリーズB（1986）