グラフの同型性は平方根有界非決定性で決定できますか？

有界非決定性は、関数をリソース限定の決定論的チューリングマシンで受け入れられる言語のクラスに関連付けて、新しいクラス -を形成します。このクラスは、を定義するために使用されるのと同じリソース境界に従いますが、は最大で非決定的移動を許可する非決定的チューリングマシンによって受け入れられる言語で構成されます。（私は、KintalaとFischerによるオリジナルの代わりに、Goldsmith、Levy、Mundhenkの表記を使用していますは入力のサイズです。） $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

私の質問：

GRAPH ISOMORPHISMが -ような定数がありますか？ $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

（編集： Joshua Grochowは、この質問に対する肯定的な回答は、現在知られているよりも漸近的なランタイム境界を持つGIのアルゴリズムを意味すると指摘しました。したがって、非決定的な動き。） $o(\sqrt{n}\log n)$

バックグラウンド

非決定論的移動は、決定論的に探索するために最大で多項式数の構成を作成するため、すべての固定定数、 -についてまたパディングにより一つにNP完全言語を示すことができる - すべてのための。 $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

KintalaとFischer は、頂点を持つ入力グラフに -cliqueがあるかどうかを決定することは -completeですが、 - ことを観察しました。これを確認するには、最大で近傍を持つ頂点を破棄します。残りの頂点が少なすぎる場合は、拒否します。それ以外の場合、残りの頂点はサイズグラフを形成します。次に、を使用しての頂点のサブセットを推測します非決定的ステップで、多項式時間でクリークを形成することを確認します。 $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

の密なグラフの他の言語も - ます。これは、頂点のサブセットが証明書として機能し、入力グラフのサイズがです。例は、密なグラフの場合の誘導パスまたは3色の約束バージョンです。他の問題では、より大きな証明書が必要なようです。たとえば、ハミルトニアン回路を定義する頂点のリストには、ビットが必要なようです。そのような問題を決定するために証明書を推測するには小さすぎる非決定性の量を使用できるかどうかは、私には明らかではありません。 $L$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$

ことを考えると - NP完全言語を含めることができ、有界非決定性の階層に潜在的に容易に言語が落ちる場所を尋ねることは興味深いと思われます。一つは近い階層にあるように、NP完全ではないようです言語として、GIを期待するかもしれない -よりも -。ただし、GIの明白な証明書は、を使用してマップを指定しますビット、これはです。 $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ $\omega(\sqrt{n})$

この質問について考える別の方法：頂点のセット間のマップを指定することは、GIの最短の証明書ですか？

編集：ジョシュア・グロチョウのコメントに対処するために、さらにいくつかの（修正された）発言が続きます。

証明書がビットを使用し、多項式時間でチェックできる場合、ブルートフォースはGIに時間。サイズが証明書では、ブルートフォースはアルゴリズムに時間かかり、サイズが証明書時間かかるブルートフォースアプローチを生成し。Luksの長年の上限は時間です。これは、これらの2つの境界から定数指数までの時間です。 $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ $O(\sqrt{n})$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

これらの考慮事項は、GIへの代替アプローチがあるかもしれないことを示唆しています。Luksのアプローチは、関連するグループのジェネレーターのサブセットを特定することに中核を置いているようです。したがって、非決定的マシンはグループのサブセットを推測する場合があります。次に、これらのサブセットを徹底的にチェックして、決定論的アルゴリズムを生成できます。関連付けられたグループがグラフのサイズよりも決して大きくないため、または必要なジェネレーターの数が常に少なく、各候補サブセットのチェックに時間がかかりすぎないために、要素のリストを簡潔に指定できる場合GIへの代替アプローチをもたらす可能性があります。

チャンドラMRキンタラとパトリックC.フィッシャー、相対論的多項式時間限定計算における非決定性の洗練、SIAM Journal on Computing 9（1）、46–53、1980。doi：10.1137 / 0209003
Judy Goldsmith、Matthew A. Levy、Martin Mundhenk、Limited nondeterminism 、SIGACT News 27（2）、20–29、1996。doi：10.1145 / 235767.235769
LászlóBabai and Eugene M. Luks、Canonical Labeling of Graphs、STOC 1983、171–183。土井：10.1145 / 800061.808746

— アンドラス・サラモン
ソース

したがって、グラフがサイズ隣接行列として与えられている場合、頂点セットサイズ線形の数の非決定論的な移動を行うことができますか？

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— ジョンD. 14

@ user17410：はい、インスタンスのサイズが限り、表現はあまり重要ではありません。（サイズがように不当にパディングされている場合は、もちろん平方根の境界で十分です。）

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— アンドラスサラモン14

最もよく知られているものよりも優れたアルゴリズムを求めているのではないかと思います...理解すれば、アルゴリズムは決定論的アルゴリズム。現在最もよく知られている決定論的アルゴリズムには時間がかかり。

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— ジョシュアグロチョフ14

@AndrásSalamon：ブルートフォース= NOT ...また、「サイズ証明書がではなく時間ブルートフォースアルゴリズムにつながる理由がわかりません。精巧な？「PTIME」表記の定義に何か足りないのでしょうか？

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— ジョシュアグロチョウ14

@ MohammadAl-Turkistany：たぶん、しかし、私はそれについて少し考えなければならないでしょう。Babaiのアルゴリズムには、色度がポリログを下回ると、以前の最適なアルゴリズムのように境界度GIのテストが適用され、ポリログ度GIのテストをポリログ境界にすることができるかどうかは不明です非決定論、またはババイの再帰をさらに継続して、たとえば一定の色度まで下げることができるかどうか。それがわかったら、答えを更新します-これについて考えがあれば、私は喜んでチャットしますが、これはおそらくそれを介して作業するのに適切な場所ではありません。

— ジョシュアグロチョフ

まず、（質問文に編集されたように）質問に対する肯定的な回答は、グラフ同型の最悪の場合の限界において、最新技術を即座に改善します。用アルゴリズムが得られる -時間決定性アルゴリズムが、GIのために知られて現在の最良のみである $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

第二に、現在の最良のアルゴリズムが実際にアルゴリズムであるかどうかはすぐにはわかりませんが、その最初の部分は明らかにある意味。アルゴリズムは、サイズの頂点のセットを最初に推測して個別化します（Zemlyachenkoのトリック- 英語の説明はこちらを参照）。これは、ビットを非決定的に推測することで実行できます。ただし、それらを推測して（決定的なポリタイムで）個別化した後、最も有名な有界次数同型テストを適用します。これには時間がかかります（このペーパーの定理9.1 ）の場合に適用します $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ $\sqrt{n/\log n}$ $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ $d=O(\sqrt{n \log n})$ 。後者のアルゴリズムをアルゴリズムに変換できるかどうかを慎重に検討する必要があります（興味深い質問のようです...） $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

ペイウォールの背後にないバージョンへのリンクはありますか？Zemlyachenkoのトリックの実際の実装や、有界度同型テストを実際に見たことがありません。NAUTYのように次数で頂点を分割すると速度が向上しますが、同じ次数の頂点では、AFIKですべてのプライムサイクル順列をチェックする必要があります。

— チャドブルーベーカー

@Chad：残念ながら、これらの記事の非有料版については知りません。ただし、Zemlyachenkoのトリックは実際に実装するのは非常に簡単で、本質的に程度を減らします。Zemlyachenkoのトリックを実際に実装するための唯一の問題は、個別化する頂点のセットを列挙すること（セットのサイズの指数関数）と、次数を効果的に減らすことによって得られる潜在的なゲインの間のトレードオフだと思います。NAUTYまたは他の実用的な同型アルゴリズムで実際に実装されているかどうかはわかりません。

— ジョシュアグロチョフ14

@Chad：ところで、素数サイクル順列のテストは、自明でない自己同型を検出するのに十分です。同型のテストには十分ではありません。たとえば、が自明でない自己同型のないグラフである場合、を任意の順列とします-必ずしも素数サイクルではありません。次にと同型であり、及びあるだけの間で同型及び。しかし、この同型は、プライムサイクルのみを考慮しても検出されません。

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

— ジョシュアグロチョフ14

n

$n$

n!

$n!$