ハミルトニアンサイクルを持たないランダムグラフを作成する方法

クラスA がハミルトニアンサイクルを持つサイズすべてのグラフを示すとします。このクラスからランダムグラフを生成するのは簡単です孤立ノードを取得し、ランダムハミルトニアンサイクルを追加してから、エッジをランダムに追加します。 $n$ $n$

クラスB がハミルトニアンサイクルを持たないサイズすべてのグラフを示すようにします。このクラスからランダムなグラフを選択するにはどうすればよいですか？（またはそれに近い何かをする） $n$

ds.algorithms graph-theory

最初の手順でグラフがランダムに一様に生成されることはどのように明確ですか？常にハミルトニアングラフを生成することは明らかですが、後でエッジをランダムに追加するため、より多くのハミルトニアンサイクルが導入され、一部のグラフが他のグラフよりも頻繁に表示される場合があります。

— ロビンコタリ

これは正しいですが、均一な配布は要求されませんでした（暗黙の場合があります）。

— ラファエル

はい、均一性は気にしません。非ハミルトニアングラフのファミリーのすべてのグラフに、選択される可能性を与えたいと思います。均一なサンプリングの問題は非常に基本的です：私の知る限り、サイズnのグラフのファミリーから均一にサンプリングする方法はわかりません。

— ジャガディッシュ

回答:

これは不可能です（NP = coNPでない場合）。特に、範囲が非ハミルトニアングラフであるポリタイム関数（関数はランダムな文字列から出力グラフに行く）を意味するため、NP証明を意味します。非ハミルトニアン性（Gがハミルトニアン回路を持たないことを証明するために、それにマッピングされるxを示します。）

— ノーム
ソース

このような関数は、非ハミルトニアングラフのクラスに属すると仮定します。これは、分布を均一にしたい場合のみです。参照して、以下のアーロンさんのコメント：cstheory.stackexchange.com/questions/562/...

— オハッドKammar

これは、各グラフを選択する確率（均一であるなど）については何も想定していません。アルゴリズムによって出力される可能性のあるグラフは、厳密には非ハミルトニアングラフ（以降）であるだけです。どちらかの側でエラーを許可すると、実際にこれが可能になる場合があります。

— ノアム

重要なのは、分布の均一性ではなく、すべての非ハミルトニアングラフの確率が非ゼロであるという事実です。そのうちの1つでも確率がゼロの場合、証明は適用されません（分布のサポートに関する詳細な知識がなければ）。

— オハドカマー

@Ohad：それらの1つが欠落している場合は、これをルックアップテーブルに追加するだけです。問題は、正の割合を逃した場合にのみ開始されると思いますが、その後は一様にサンプリングされません。

— エミール

あなたのアルゴリズムは確率で非ハミルトングラフ上に均一な分布生成した場合

と確率とハミルトングラフ

、および

入力サイズがに行くよう

、その後、私はあなたとこのアルゴリズムを組み合わせることができるはずだと思いますランダムなハッシュ関数を使用して、非ハミルトニティの一定ラウンドのインタラクティブな証拠を見つけます。これは、多項式階層が崩壊することを意味します

1 - ϵ

$1-\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ \to 0

$\epsilon \rightarrow 0$

\infty

$\infty$

— Peter Shor

Bollobas、Fenner、およびFrieze（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193）は、ランダムグラフでハミルトニアンサイクルを見つけるための多項式時間アルゴリズムを提供します。グラフの。ハミルトニアンではないn個の頂点グラフを生成したい場合は、ランダムなグラフ選択できます $G_{n,m}$ $m$ $n$

$n$

— アーロン・ロス
ソース

これは良い考えですが、ハムサイクルを見つけるために確率的アルゴリズム全体をスキップできます。この質問は、サンプリング手順が予想されるポリタイムなどで実行されることを要求するものではありません。したがって、お気に入りの分布からランダムグラフを作成し、正確なアルゴリズムを使用してハミルトニアンであるかどうかを判断し、ハミルトニアンである場合は破棄してプロセスを繰り返します。使用される分布がすべてのラベル付きグラフ上の均一な分布である場合、これは実際には均一な確率ですべての非ハミルトニアンラベル付きグラフを生成します。

— JimN

ハミルトニアングラフは検証しやすいため、最初のタスクは簡単です。ただし、与えられたグラフが非ハミルトニアンであることを証明するために効率的に検証できる既知の短い証明はありません。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

turkistanyの答えは興味深い質問をもたらすと思います。一般的に、co-NP-completeな言語から均一にサンプリングすることは可能ですか？

— Suresh Venkat

....そしてNoamは否定的に答えます。

— スレシュヴェンカト