重み付きDAGが与えられた場合、各重みをその祖先の重みの合計で置き換えるO（V + E）アルゴリズムはありますか？

もちろん、問題は二重カウントです。特定のクラスのDAG =ツリー、またはシリアル/パラレルツリーでさえも簡単に実行できます。妥当な時間で一般的なDAGで機能する唯一のアルゴリズムは近似アルゴリズム（Synopsis拡散）ですが、その精度の向上はビット数で指数関数的です（そして多くのビットが必要です）。

背景：このタスクは、BBChop（http://github.com/ealdwulf/bbchop）の確率計算の一部として、断続的なバグを見つけるためのプログラム（つまり、「ベイズバージョン」 git bisect '）。したがって、問題のDAGは改訂履歴です。つまり、エッジの数がノードの数の2乗に近づく可能性は低く、小さなkの場合、ノードの数のk倍未満になる可能性が高いことを意味します。残念ながら、リビジョンDAGの他の有用なプロパティは見つかりませんでした。たとえば、最大のトライコネクテッドコンポーネントがノード数の平方根としてのみ成長することを期待していましたが、悲しいことに（少なくともLinuxカーネルの歴史では）線形に成長します。

頂点の重みは任意の正の整数、またはより正確には最大2 ^nの正の整数にできると仮定します。次に、任意の有向グラフの推移閉包をO（n ²）時間で計算できる場合を除き、現在のタスクはわずかに弱い時間境界O（n ²）でも実行できません。ここで、nは頂点の数を示します。（推移的閉包のためのO（n ²）時間アルゴリズムはブレークスルーになることに注意してください。）これは、次の主張の反対です：

請求。現在のタスクを時間O（n ²）で実行できる場合、その隣接行列として与えられた任意の有向グラフの推移閉包をO（n ²）時間で計算できます（合理的な計算モデルを想定）。

証明。前処理として、与えられた有向グラフGの時間O（n ²）の強連結成分分解を計算して、DAG G ' を取得します。我々はの推移閉包計算することができるかどうかという注意G "を、私たちはの推移閉包再構築することができますGを。

ここで、重み2 ⁱをDAG G 'の各頂点iに割り当て、現在の問題のアルゴリズムを使用します。各頂点に割り当てられた合計のバイナリ表現iはの祖先の正確セット説明私は、換言すれば、我々は、の推移閉包計算したGを '。 QED。

クレームの逆も成り立ちます。特定のDAGの推移閉包を計算できる場合、時間O（n ²）を追加することで必要な合計を簡単に計算できます。したがって、理論的には、Coppersmith-Winograd行列乗算アルゴリズムに基づく推移的閉包のアルゴリズムを使用することで、時間O（n ^2.376）で現在のタスクを達成できます。

編集：リビジョン2以前では、頂点の重みの範囲に関する仮定を明示的に述べていませんでした。Per Vognsenはコメントでこの暗黙の仮定は合理的ではないかもしれないと指摘しました（ありがとう！）、そして私は同意します。アプリケーションで任意の重みが必要でない場合でも、この答えは次の推論の行によっていくつかのアプローチを除外する可能性があると思います：「このアプローチが機能する場合、任意の重みのアルゴリズムを与えます閉包は時間O（n ²）で計算できます。」

編集：リビジョン4以前では、エッジの方向が誤って記載されていました。

これは、剛の答えに対する私のコメントの拡大です。質問に対する否定的な答えは無条件にできると思います。

$\omega(n)$$O(n)$

$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

ポイントは、基礎となる半順序が密であるように見えますが、DAGはその推移的な減少を表しており、これはまばらになります。

これは間違っており、質問に対する誤解に基づいています。 私のエラーを辛抱強く指摘してくれた剛に感謝します。他の人が同じ間違いを犯した場合に備えて、離れます。

$k$

$k$$O(k|V|)$

$O(|V|+|E|)$

このアプローチは、比較的頻繁ではない限り、多くの直近の先行ノードがあるノードがある場合にもうまく機能するはずです。