タグ付けされた質問 「co.combinatorics」

組み合わせ論と離散数学構造に関する質問

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そのようなマトリックスは存在できますか？
私の仕事中に私は次の問題を思いつきました： 私が見つけることを試みているn×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1) -マトリックスMMM任意のため、n>3n>3n > 3次のプロパティを持ちます、： の行列式MMMは偶数です。 任意の空でない部分集合のためのI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}と|I|=|J||I|=|J||I| = |J|、部分行列MIJMJIM^I_Jは、場合にのみ奇数行列式を持ちI=JI=JI=Jます。 ここでMIJMJIM^I_Jは、Iにインデックスを持つ行とJにインデックスを持つ列を削除することによって作成されたのサブマトリックスを示します。MMMIIIJJJ これまでは、ランダムサンプリングによってそのような行列を見つけようとしましたが、最初の行列を除くすべてのプロパティを持つ行列のみを見つけることができます。つまり、行列には​​常に奇数の行列式があります。さまざまな次元とさまざまな入出力セットを試しましたが、成功しませんでした。だからこれは私に考えさせます： 要件間に依存関係があり、それらが同時に真になることを妨げていますか？ または そのようなマトリックスが存在する可能性はありますか？誰かが私に例を示すことができますか？ ありがとう、エッチ
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ノードの「ローカルに均一な」合計順序を持つ通常の高円グラフ
定義 してみましょうとしましょう、、そして（正の整数で）。ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0dddrrrgggg>2r+1g>2r+1g > 2r+1 LET単純であることが少なくとも胴回りと-regular無向、有限グラフ。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)dddggg してみましょう上の全順序も。≤≤\leVVV 各について、を inから距離内にあるノードで構成し（から任意のまでの最短パスは最大エッジを持ちます）、サブグラフにしますによって誘発さ。は胴回りが高いと想定したことを思い出してください。したがって、はツリーです。してみましょうの制限もに。v∈Vv∈Vv \in VVv⊆VVv⊆VV_v \subseteq VrrrvvvGGGvvvu∈Vvu∈Vvu \in V_vrrrGvGvG_vGGGVvVvV_vGGGGvGvG_v≤v≤v\le_v≤≤\leVvVvV_v とが同型である場合エッジは良いと言えます。つまり、隣接関係（ iff）と順序（を維持全単射があります。 iff）。そうでなければ、エッジは悪いです。{u,v}∈E{u,v}∈E\{u,v\} \in E(Gu,≤u)(Gu,≤u)(G_u,\le_u)(Gv,≤v)(Gv,≤v)(G_v,\le_v)f:Vu→Vvf:Vu→Vvf\colon V_u \to V_v{x,y}∈E{x,y}∈E\{x,y\} \in E{f(x),f(y)}∈E{f(x),f(y)}∈E\{f(x),f(y)\} \in Ex≤yx≤yx \le yf(x)≤f(y)f(x)≤f(y)f(x) \le f(y) は -good少なくともが存在する場合と言います 良いエッジ。(G,≤)(G,≤)(G,\le)ϵϵ\epsilon(1−ϵ)|E|(1−ϵ)|E|(1-\epsilon)|E| 質問 してみましょう。存在しない -good対いずれかのと任意のと（と）？d=4d=4d = 4ϵϵ\epsilon(G,≤)(G,≤)(G,\le)ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0rrrgggr≪gr≪gr \ll g 備考： 一般的な答えを知りたいのですが、が最初の重要なケースです。dddd=4d=4d = 4 …
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ランクとおおよそのランクの最大のギャップは何ですか？
0-1行列のランクの対数は決定論的な通信の複雑さの下限であり、近似ランクの対数はランダム化された通信の複雑さの下限であることはわかっています。確定的な通信の複雑さとランダム化された通信の複雑さの最大のギャップは指数関数的です。では、ブール行列のランクと近似ランクの間のギャップはどうですか？
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グラフの最大不均衡？
LET 連結グラフであるG = （V 、E ）ノードとV = 1 ... NとエッジEを。ましょうwはiはグラフの（整数）重量表すGを用いて、Σ iは、wは、I = Mグラフの総重量。ノード当たりの平均重量は、次にあるˉ W = M / N。ましょうE I = W I - ˉ Wノードの示す偏差GGGG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)V=1…nV=1…nV = 1 \dots nEEEwiwiw_iGGG∑iwi=m∑iwi=m\sum_i w_i = mw¯=m/nw¯=m/n\bar w = m/nei=wi−w¯ei=wi−w¯e_i = w_i - \bar wは平均から。呼び出す | e i | ノード iの不均衡。iii|ei||ei||e_i|iii 任意の2つの間の重量と仮定隣接ノードはせいぜいによって異なる可能性が、すなわち、 wはI …
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問題をカバーする最小パス
私たちは分散型コンピュータで作業しており、最小のパスカバリング問題に帰着する複雑さの問題を思いつきました。現在のところ、解決方法はわかりません。問題は次のとおりです。 ましょうある整数であり、およびlet含むグラフであるの頂点を。ようなカップル各頂点にラベルを付けます。以下では、頂点にラベルを使用して名前を付けます。のエッジのセットは次のように定義されます： 。kkkZkZkZ_kk(k+1)2k(k+1)2\frac{k(k+1)}{2}(i,j)(i,j)(i,j)1≤i≤j≤k1≤i≤j≤k1 \leq i \leq j \leq kZkZkZ_k{((i,j),(i′,j′))|i′&gt;i∧j′≥i}{((i,j),(i′,j′))|i′&gt;i∧j′≥i}\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \} 最小パスカバリングはですか？ZkZkZ_k Ntafosらによる「ダイグラフのパスカバー問題とプログラムテストへの適用」を読んでください。、最小パスカバーが最大の比較不可能な頂点セットの基数に等しいことを確認しました。次のセットについて考えていました： これは基数を持ちます。S={(i,j):i≥k/2∧j&lt;k/2}S={(i,j):i≥k/2∧j&lt;k/2}S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}k24−k2k24−k2\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2} 今後ともよろしくお願いいたします。 ピエール
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グラフからハイパーグラフに移行する際の根本的な困難は何ですか？
グラフ理論の問題を分析できる組み合わせ論とコンピューターサイエンスには多くの例がありますが、問題のハイパーグラフアナログでは、ツールが不足しています。なぜ2均一グラフよりも3均一ハイパーグラフの方が問題がはるかに困難になると思いますか？根本的な困難は何ですか？ 1つの問題は、まだスペクトルハイパーグラフ理論を十分に理解していないことです。この問題について、もっと光を当ててください。しかし、ハイパーグラフをより困難なオブジェクトにする他の理由も探しています。
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カットノルムに関して-nets
実数行列のカットノルムは、すべてのの最大値の量。||A||C||A||C||A||_CA=(ai,j)∈Rn×nA=(ai,j)∈Rn×nA = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}I⊆[n],J⊆[n]I⊆[n],J⊆[n]I \subseteq [n], J \subseteq [n]∣∣∑i∈I,j∈Jai,j∣∣|∑i∈I,j∈Jai,j|\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right| 二つの行列の間の距離を定義とあるとAAABBBdC(A,B)=||A−B||CdC(A,B)=||A−B||Cd_C(A,B) = ||A-B||_C 距離空間の最小の -net何ですか？（[ 0 、1 ] N × N、D C）ϵϵ\epsilon([0,1]n×n,dC)([0,1]n×n,dC)([0,1]^{n\times n}, d_C) つまり、すべてのに対して、が存在するような最小サブセットのサイズそのような。 A ∈ [ 0 、1 ] N × N A ' ∈ S D C（A 、A '）≤ εS⊂[0,1]n×nS⊂[0,1]n×nS \subset …
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無限ドメインの有限一方向置換
ましょう置換です。しながら、という注意πは無限のドメインに作用し、その説明は有限であるかもしれません。記述、私が記述したプログラムを意味πの機能を。（コルモゴロフの複雑さのように。）以下の説明を参照してください。π:{0,1}∗→{0,1}∗π:{0,1}∗→{0,1}∗\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*ππ\piππ\pi たとえば、NOT関数はそのような順列の1つです。 関数NOT（x） y = xとする i = 1〜| x |の場合 yのi番目のビットを反転 yを返す πk(⋅)πk(⋅)\pi_k(\cdot)以下に定義は、別のケースです。 関数pi_k（x） x + kを返す（mod 2 ^ | x |） 私の質問は、一方向置換と呼ばれる特別な種類の置換についてです。非公式に言えば、これらは順列であり、計算は簡単ですが、（BPPBPP\rm{BPP}マシンの場合）反転することは困難です。一方向の順列の単なる存在は、暗号化と複雑性理論における長年のオープンな問題ですが、残りの部分では、それらが存在すると仮定します。 n=pqn=pqn = pqe=65537e=65537e = 65537πn(x)=xemodnπn(x)=xemodn\pi_n(x) = x^e \bmod n RSAは有限領域定義されていることに注意してください。実際、無限ドメイン置換を取得するには、RSA置換の ファミリーがあります。ここで、はBlum整数の無限セットです。ことに注意してください家族の説明である、と定義することによって、それは無限です。ZnZn\mathbb{Z}_n{πn}n∈D{πn}n∈D\{\pi_n\}_{n\in D}DDDDDD 私の質問は（一方向の順列の存在を想定）です。 無限ドメインで有限記述一方向置換が存在しますか？ その答えは変更される場合があります：それは（ポジティブ、ネガティブ、または開くことができる可能性が陽性であること、または可能性が否定されるように）。 バックグラウンド この質問は、ASIACRYPT 2009の論文を読んでいたときに起こりました。そこで、著者は暗黙のうちに（そしていくつかの証明の文脈において）そのような一方向の置換が存在すると仮定しました。 証明が見つからなかったとしても、これが事実であるなら私は幸福です。
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効率的に最大化できるグラフの興味深い関数。
I加重グラフを持っていることを言うG=(V,E,w)G=(V,E,w)G = (V,E,w)ように、w:E→[−1,1]w:E→[−1,1]w:E\rightarrow [-1,1]負の重みが許可されることに注意してください-重み関数です。 言うf:2V→ Rf:2V→Rf:2^V\rightarrow \mathbb{R}頂点の任意のサブセットのプロパティ定義S⊂ VS⊂VS \subset V。 fffarg最高S⊆ Vf（S）arg⁡maxS⊆Vf(S)\arg\max_{S \subseteq V}f(S) たとえば、グラフカット関数 f（S）= ∑（U 、V ）∈ E：U ∈ S、V ∉ Sw （（u 、v ））f（S）=Σ（あなた、v）∈E：あなた∈S、v∉Sw（（あなた、v））f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v)) はサブセットの興味深いプロパティです頂点の、しかし効率的に最大化することはできません。エッジ密度関数は、興味深いプロパティの別の例ですが、悲しいことに、効率的に最大化することはできません。同様に興味深いが効率的に最大化できる関数を探しています。 「興味深い」の定義はやや曖昧にしましょうが、最大化問題は自明ではありません。たとえば、グラフのエッジを調べずに答えを決定できるはずはありません（定数関数と基数関数は興味深いものではありません）。また、fffがドメイン2 ^ Vにパディングすることにより、多項式サイズのドメインを持つ他の関数を実際にエンコードしているだけでは2V2V2^Vありません（つまり、いくつかの小さなドメインバツバツXといくつかの関数mは必要ありません）。m ：2S→ Xメートル：2S→バツm:2^S\rightarrow Xグラフを見る前に2 ^ S \ rightarrow Xがわかっているため、対象の関数は実際にはg：X→ …
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に対するブールエラー修正コード
線形誤り訂正符号の任意の公知の構成がある（合理的なパラメータを持つ）、ブールベクトルの所与の場合ように、V ∈ { 0 、1 } nは、それはまた、ブールベクトルを返しますwhp？（F qを超えていますが）ECC:Fnq→FmqECC:Fqn→Fqm\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^mv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nFqFq\mathbb{F}_q Pr[ECC(v)∈{0,1}m]&gt;1−ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]&gt;1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nϵϵ\epsilon そうでない場合、我々はに条件をどのように緩和場合 戻る「番目の座標、任意に小さく、確率が両方ともに均一選択取られると均一座標選ぶ。Pr[ECCi(v)∈{0,1}]&gt;1−ϵPr[ECCi(v)∈{0,1}]&gt;1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilonECCiECCi\mathsf{ECC}_iiiiECCECC\mathsf{ECC}ϵϵ\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^ni∈[m]i∈[m]i\in[m]
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ランダム3次グラフの振幅
n = |の連結ランダム3次グラフG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)を考えます。V | G （n 、3 -reg ）から描画された頂点（ここで定義されているとおり、つまり3 nは偶数であり、2つのグラフは同じ確率を持ちます）。n=|V|n=|V|n =|V|G(n,3G(n,3G(n, 3)))3n3n3n もちろんある可能幅優先検索、各開始ノードについて1つのS ∈ V。A幅優先探索B Gノードから始まるS ∈ Vの割り当てレベルD （S 、V ）各ノードにV ∈ V、D （sは、V ）の間の距離であり、SおよびVにGを。nnns∈Vs∈Vs \in VBGBGB_Gs∈Vs∈Vs \in Vd(s,v)d(s,v)d(s, v)v∈Vv∈Vv \in Vd(s,v)d(s,v)d(s, v)sssvvvGGG BGBGB_GL(s,{u,v})=max{d(s,u),d(s,v)}L(s,{u,v})=max{d(s,u),d(s,v)} L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}e={u,v}∈Ee={u,v}∈Ee=\{u,v\} \in E 特定幅優先探索所与、ましょう割り当てレベルとなっているエッジの数である、およびlet。つまり、は、他のどのレベルよりも多くのエッジを含むレベルのエッジの数です。最後に、聞かせて最大であるのいずれかのためのの幅まず検索。BGBGB_Gα(BG,i)α(BG,i)\alpha(B_G,i)iiiα(BG)=maxi{α(BG,i)}α(BG)=maxi{α(BG,i)}\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}α(BG)α(BG)\alpha(B_G)α(G)α(G)\alpha(G)α(BG)α(BG)\alpha(B_G)nnnGGG をの振幅と呼びましょう。α(G)α(G)\alpha(G)GGG 質問 が無限大になる傾向があるため、の期待値はどのように増加しますか？はランダム3次であることを思い出してください。より正確には、私が本当に知りたいのは、期待される値が属しているかどうかです。α(G)α(G)\alpha(G)nnnGGGα(G)α(G)\alpha(G)o(n)o(n)o(n) 以来、私は奇数の気にしないようにしても、制限が考慮されているさん。nnnnnn
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最小サイクルがダブルエッジカバーを形成するように周囲
してみましょう。すべてのgサイクルのセットがGのダブルエッジカバーを形成するように（つまり、すべてのエッジがちょうど2つのgサイクルによって共有される）、任意の2つの交点が交差するように、ガースgの単純なグラフGを生成する必要がありますg -cyclesは、頂点、エッジ、または空のいずれかです。生成されるグラフは、任意に大きくする必要があります。g≥3g≥3g\geq 3GGGggggggGGGgggggg 生成方法にはある程度のランダムさが必要ですが、簡単な意味ではありません。かなり複雑なグラフを取得したい。たとえば、平面に長方形グリッドがあるとします。外接する四角形の反対側を特定すると、g = 4に対する上記の要件をすべて満たすグラフが得られます。このグラフは単純であると見なします。n×mn×mn\times mg=4g=4g=4 そのような方法はありますか？ 同様の問題への言及も歓迎します。
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グラフのクリークの数：1965年の月とモーザーの結果
1965年の月とモーザーのクリークの結果の全文をグラフで探しています（指数の最大クリークの指数を持つグラフがいくつかあります）。私の大学のペイウォールは特定のジャーナルにアクセスできません。（実際、プレビューは証明の最初の数文を提供しますが、残りはありません！）nnn 自分が追求していた研究の方向性について、この結果に興味があったのですが、方向性が少し変わったので、純粋に学術的な好奇心に興味がわいてきました。 私の質問は： どこかの紙の全文へのリンク、または証明をスケッチする別の紙、または証明のスケッチがここで複製するのに十分短い場合、誰かがそれを知っていますか？また、クリークの指数関数的な数のグラフのクラスにも興味があります。 参考のためにBibTeXを追加しました。 @article {springerlink:10.1007/BF02760024, author = {Moon, J. and Moser, L.}, affiliation = {University of Alberta Edmonton Canada}, title = {On cliques in graphs}, journal = {Israel Journal of Mathematics}, publisher = {Hebrew University Magnes Press}, issn = {0021-2172}, keyword = {Computer Science}, pages = {23-28}, volume …
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ツリー幅が広く、次数が一定のサブグラフを見つける
Iグラフ所与いとツリー幅K及び任意度を、そしてIは、部分グラフ検索したいHのG（必ずしも誘導されるサブグラフ）のように、Hが一定程度を有し、そのツリー幅は、可能な限り高いようです。正式に私の問題は次の通りです：学位バインド選ばれたD ∈ N「最高」の機能が何であるか、F ：N → Nで、その結果を任意のグラフGと木幅K、私は（うまくいけば、効率的）部分グラフを見つけることができますHのをG最大度≤ DGGG kkkHHHGGGHHHd∈ Nd∈Nd \in \mathbb{N}f：N → Nf：N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}GGGkkkHHHGGG≤d≤d\leq dとツリー幅。f(k)f（k）f(k) もちろん、私たちは取るべきである最大の度合いとは、高いツリー幅グラフが存在しないとして、&lt; 3。以下のためにD = 3私は、あなたが取ることができることを知っているfのようにF （K ）= Ω （K 1 / 100） ChekuriとChuzhoyのに訴えることによってまたはそう、グリッドマイナー抽出結果d≥3d≥３d \geq 3&lt;3&lt;３<3d=3d=３d = 3ffff(k)=Ω(k1/100)f（k）=Ω（k1/100）f(k) = \Omega(k^{1/100})（およびそれを使用して、ツリーの高次数3のグラフ、たとえば壁をトポロジカルマイナーとして抽出します）。サブグラフの計算は（RPで）実行可能です。それははるかに簡単な問題のように見えるもののためにそれを使用することが間違っていると感じるので、しかし、これは、精巧な証拠と非常に強力な結果である：私はちょうどたい見つけるために、任意の一定程度、高木幅部分グラフ、ないような特定のものを結果で。さらに、の境界は、私が期待したほど良くありません。確かに、されて知られている、それが行うことができることをΩ （K 1 / 20）（計算の効率をあきらめるまで）、しかし、私のような何かを望んでいるだろうΩ （K ）fffΩ(k1/20)Ω（k1/20）\Omega(k^{1/20})Ω(k)Ω（k）\Omega(k)。だから、それはグラフが与えられると、それを表示することが可能であるツリー幅のk個のサブグラフが存在するG一定程度と線形ツリー幅のあるkは？GGGkkkGGGkkk ツリー幅ではなくパス幅についてもまったく同じ質問に興味があります。パス幅については、グリッドマイナー抽出の類似物がわからないので、問題はさらに神秘的です...
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グラフ同型のグラフの自己同型の数
LETおよび 2つのでありサイズの-regular接続グラフ。LET順列の集合ように。場合、はの自己同型のセットです。GGGHHHrrrnnnAあAPPPPGP−1=HPGP−1=HPGP^{-1}=HG=HG=HG=HAあAGGG サイズの最もよく知られている上限は何ですか？ 特定のグラフクラス（完全/サイクルグラフを含まない）の結果はありますか？AあA 注：自己同型グループの構築は、グラフの同型問題を解くのと同じくらい（計算の複雑さに関して）困難です。実際、自己同型性を数えることだけが多項式時間であり、グラフ同型性に相当します。
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