グラフの最大不均衡？

LET 連結グラフであるノードととエッジ。ましょうグラフの（整数）重量表す用いて、グラフの総重量。ノード当たりの平均重量は、次にある。ましょうノードの示す偏差 $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ は平均から。呼び出すノードの不均衡。 $i$ $|e_i|$ $i$

任意の2つの間の重量と仮定隣接ノードはせいぜいによって異なる可能性が、すなわち、 $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

質問：とに関して、ネットワークが持つことができる最大の不均衡は何ですか？より正確には、ベクトルを想像してください。に関する結果も同様に満足しますまたは。 $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

用、グラフの直径に関する単純な境界を見つけることができます。すべてのは合計でゼロになる必要があるため、大きな正のがある場合、どこかに負のが存在する必要があります。したがって、それらの違い少なくとも、ただし、この差は最大でノードと間の最短距離である可能性があり、その結果、最大でグラフの直径である可能性があります。 $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

強い境界に興味があります。できればノルムまたはノルムに興味があります。グラフの接続性を反映するために、いくつかのスペクトルグラフ理論を含める必要があると思います。私はそれを最大フロー問題として表現しようとしましたが、役に立ちませんでした。 $1$ $2$

編集：詳細な説明。全体の不均衡をより正確に反映するノルムまたはノルムに興味があります。ささいな関係はから得られます、そして $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ 。ただし、グラフの接続性と、隣接するノード間の負荷の差における私の制約により、ノルムとノルムははるかに小さくなるはずです。 $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

例：次元dのハイパーキューブ、。直径はです。その場合、最大不均衡は最大でです。これは、ノルムの上限として示唆してい。これまでのところ、これが実際に得られる状況を構築することができませんでした $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ 私はハイパーキューブにサイクルを埋め込み、ノードが不均衡持っている場合は、、、、などだから、ここバウンドは倍にオフになっている Iとして、私はあまりすでに検討し、（漸近的に）タイトな境界を探しています。 $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— ラガーバー
ソース

興味深い質問。特定のアプリケーションはありますか？

— Suresh Venkat

@AndrásSalamon：編集ありがとうございます。@Suresh Venkat：重みは、経験豊富な負荷を最小限に抑えたい均一サイズのエージェントの数を表すと仮定します。

場合、

は

から

に移動する必要があります。誰も動かしたくない場合、それをナッシュ均衡と呼びます。質問：ナッシュ均衡で起こりうる最大の不均衡は何ですか？

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer、2011

単純な直径の境界が緩すぎるグラフの例がありますか？

— ムム

さて、私は他の2つの規範を

。「トータル」の不均衡をより正確に捉えるため、

ノルムまたは

ノルムに興味があります。質問に例を追加しました。

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

ハイパーキューブの場合、頂点をハミング重みで重み付けするとどうなるでしょうか。私は

ようなものを手に入れます

のために

、及びIは考える

オーダーであろう

。

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

回答:

$|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

$\ell_1$

$\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

完全な aryツリーの場合は、ルートで半分に分割し、、片側が昇順、もう片側が降順になるまで、再び生成します。 $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

クリークの場合、ウェイトがどのように配分されるかは重要ではありません。ウェイトはすべて互いに以内にあり、これにより再び得られます。 $1$ $O(n) = O(nd)$

ここで話しているのは関数であることに、その規範、重みを範囲全体に任意に均等に分配できる限り、境界はます。 $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

これを変更する唯一の方法は、マスでゲームをプレイすることです。たとえば、同じ長さの2つのパスが突き出ている巨大なクリークのように、バランスがとれているポイントにいくつかの巨大なクリークがある場合、（たとえば）のみの境界に頼ることができます。。 $O(d^2)$

これはエキスパンダーにもある程度当てはまるかもしれませんが、よくわかりません。通常のグラフでを設定し、その後、すべてのホップから値を増加させる場合を想像できます。平均はおそらく最大の質量を持つ可能性が高いようですが、それが範囲に影響を与えるのに十分かどうかはわかりません。 $w_1 = 0$

についても同様にできると思います。 $\ell_2$

編集：

コメントで、問題の制約といくつかの基本的なスペクトルグラフ理論を使用して、（緩い）境界をました。 $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— ジョセフィン・モラー
ソース

私はあなたの答えが好きです。ただし、「範囲全体で任意に重みを均等に配分できる限り」という問題があります。直径の境界により重みどこかに配置できる状況を想像できませんでしたが、グラフの構造がこの大きな正の重みをおそらく補償できないようなものですか？したがって、はもちろん上限ですが、より厳しい範囲を取得することは可能でしょうか？最終的に2番目に小さいラプラシアン固有値または2番目に大きい隣接固有値を使用しますか（接続情報をエンコードするため）？

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer 2011

さて、あなたは配置していません、あなたは配置しています。したがって、歪んだがある場合、平均の反対側でそれを補正する多数の小さな重み、またはそれと正反対のいくつかの他の大きな重みが必要です。よりも小さい境界を取得できる唯一の方法は、なんとかして構造を当てにすることです。そして、私が言ったように、これが、例えばエキスパンダーにとって何を意味するのか分かりません。私が回答で示したケースのため、純粋にコンダクタンスに基づいてそれを行うことはできないと思います。

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— ジョセフィンMoeller 2011

別の例を挙げましょう。2つのクリーク有するダンベルグラフは、非常に低いコンダクタンスを有しているが、その不均衡は、2によって制限される

— ジョセフィンメラー

構造に関連する境界は、私が完全に満足するものです。それが固有値について言及した理由です。固有値は接続プロパティに関連しているからです。たとえば、グラフのラプラシアン行列の2番目に小さい固有ベクトルに関して、直径、平均パス、等周数などの境界があります。

— Lagerbaer

今すぐ他の例を読んでください。アイソペリメトリ数は約ため、このようなグラフには2番目に小さいラプラシアン固有値も非常に小さいと予想されます。

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

接続グラフの場合、不均衡はグラフの直径によって上限が決まります。不均衡を制限するため、各をとして書き換えることができここで、はからへの最短パスです。定義。書くことができます $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

各は、各についてであるという仮定により、からへの最短経路の長さの上限があります。したがって、自明な限界が得られます： $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

これは実際には最適から遠くないかもしれません。各レベルのノードの重みが前のレベルの重みよりも1つ高い完全な aryツリーを考えています。グラフの大部分が最も高い重み持っています。したがって、平均は上に向かって歪む必要があります。及び大きくなり、私が期待近いと近い取得する不均衡が近づくとに近づくべきであることを意味する。 $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— ニコラス・ルオッツィ
ソース

私の知る限り、ここでスケッチした構造は厳密にすることができ、必要に応じて近いアンバランスを実現します。ただし、質問は頂点が隣接していないときに何が起こるかを指定していないので、簡単な構築は、重みを持つ頂点と重み持つ他のすべての頂点を持つ完全に切断されたグラフです。これは、最大の不均衡でもある平均重みを持ちます。これは明らかに、十分に大きな選択することにより、任意に近づけることができ、は必要なだけ大きくすることができます。

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— アンドラス・サラモン

@AndrásSalamon：いいですね。上記の答えは、与えられたグラフが接続されていることを前提としています。それを明確にするために編集します。

G

$G$

— Nicholas Ruozzi

「接続された」制約を質問に追加しました。これは私が考えていたものでした。ここでの答えは、限界を示しています。また、「最悪」のケースを尋ねたところ、グラフが修正されることを念頭に置いており、その特定のグラフの最悪のケースを見つけようとしました。

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer