ノードの「ローカルに均一な」合計順序を持つ通常の高円グラフ

定義

してみましょうとしましょう、、そして（正の整数で）。$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

LET単純であることが少なくとも胴回りと-regular無向、有限グラフ。$G = (V,E)$$d$$g$

してみましょう上の全順序も。$\le$$V$

各について、を inから距離内にあるノードで構成し（から任意のまでの最短パスは最大エッジを持ちます）、サブグラフにしますによって誘発さ。は胴回りが高いと想定したことを思い出してください。したがって、はツリーです。してみましょうの制限もに。$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$$V_v$

とが同型である場合エッジは良いと言えます。つまり、隣接関係（ iff）と順序（を維持全単射があります。 iff）。そうでなければ、エッジは悪いです。$\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

は -good少なくともが存在する場合と言います 良いエッジ。$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

質問

してみましょう。存在しない -good対いずれかのと任意のと（と）？$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

備考：

• 一般的な答えを知りたいのですが、が最初の重要なケースです。$d$$d = 4$

• 有限である限り、のサイズは重要ではありません。構造は必要ありません。単なる存在または非存在で十分です。$G$$G$

例

• 場合は、答えは「イエス」です。単純に、十分に長いサイクルを取り、サイクルに沿ってノードを順序付けることができます。最大ノードと最小ノードを結合するエッジの近くにいくつかの不良エッジがありますが、他のすべてのエッジは良好です。ほぼすべてのノードについて、ペアは、ノードの増加するパスにすぎません注文。$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• 場合は、答えは「イエス」です。通常の高円グラフを撮ってください。$r = 0$

• が十分に小さければ、答えはどのようなでも「はい」です。ちょうど取る（それを作るために周りに包まれた境界を持つ次元格子グラフそれらの座標によって辞書的にノードを-regular）を、と注文。繰り返しになりますが、グリッドの境界の近くにいくつかの不良エッジがありますが、不良エッジの数を任意に小さくすることができます。$g$$d$$(d/2)$$d$

• が有限である必要がない場合、答えはでも「はい」です。通常の無限ツリーは、すべてのエッジが良好であるような全体の順序を持​​っています。$G$$d$

• 場合奇数であると十分に大きい、答えは「ノー」です。本質的に、Naor＆Stockmeyer（1995）は、すべてのノードが少なくとも1つの不適切なエッジで発生していることを示しています。$d$$r$

バックグラウンド

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問題は、分散コンピューティングの基礎、特にローカルアルゴリズムに関連しています。

私たちが理解したいのは次のことです。その状況では、全次数の存在が分散システムでの局所的な対称性の破れに役立ちます。直感的に、各ノードは、関数である出力、つまり局所的な近傍の関数を生成する必要があります。エッジが悪い場合、近くで利用可能な局所対称性を破る情報があり、ノードとは異なる出力を生成する可能性があります。エッジが良ければ、ノードとはローカルで区別できず、同じ出力を生成する必要があります。$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

全順序は、ヘルプ（はるかに弱い関係は、基本的に対称破り同じ量の情報を提供）が、しないことが知られている多くの古典的なグラフの問題のいくつかのケースがまだ開いていると、すべてのハイの場合をカバーし、一般的な結果を-ガースグラフは画期的な可能性があります。

これは双方にメリットのある質問かもしれません。答えに関係なく、私たちは新しいことを学びます。答えが「はい」の場合、新しい強力な下限の結果を導き出すことができる可能性があります。答えが「いいえ」の場合、任意の利用できるローカルな対称性を破る情報を活用するより高速なアルゴリズムを設計できる可能性があります。$(G,\le)$

もちろん、現実の世界では、全順序はありません。さらにいくつかあります：各ノードには一意のラベルます。ただし、通常、全体の順序と一意のラベルの間のギャップを埋める方が簡単です。多くの場合、ラムジーのような議論は、ラベルが（最悪の場合）完全な順序で利用できない情報を提供しないことを示しています。$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

はい、そのようなペアは、任意の、任意の、任意の、および任意のます。$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

詳細については、arXiv：1201.6675を参照してください。